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SOLUTIONS
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3. Pour la loi binomiale, on trouve pour tout réel t,
G X (t) =
n
k=0
p k t
k =
n
k=0
n
k
p
k (1 − p)
n−k t
k =
n
k=0
n
k
(pt)
k (1 − p)
n−k = (pt + 1 − p)
n .
La fonction G X est dérivable sur R et pour tout réel t, (G X )
(t) = np(pt + 1 − p)
n−1 . On
obtient
E(X) = (G X )
(1) = np.
Si X suit la loi géométrique de paramètre p, on a pour tout réel t et tout n ∈ N
∗ ,
p n t
n = p(1 − p)
n−1 t = pt(1 − p)
n−1 .
La série de terme général p n t
n converge absolument pour |t(1 − p)| < 1, soit |t| <
1
1 − p
·
On obtient, pour |t| <
1
1 − p
,
G X (t) = pt
+∞
n=1
((1 − p)t)
n−1 =
pt
1 − (1 − p)t
·
La fonction est dérivable pour |t| <
1
1 − p
et
(G X )
(t) =
p
(1 − (1 − p)t) 2 ·
Comme 1 <
1
1 − p
, G X possède une dérivée en 1, donc X possède une espérance et
E(X) = (G X )
(1) =
p
(1 − (1 − p)) 2 =
1
p
·
Si X suit une loi de Poisson de paramètre l, la fonction G X est définie sur R, et pour tout
réel t,
G X (t) =
+∞
n=0
e
−l l
n
n!
t
n = e
−l
+∞
n=0
(lt)
n
n!
= e
−l e
lt .
La fonction G X est dérivable sur R et pour tout réel t,
(G X )
(t) = le
−l e
lt .
On en déduit que E(X) existe et
E(X) = (G X )
(1) = le
−l e
l = l.
13.
On pose X(V) = {x n , n ∈ I}, avec I = [[1, n]] ou I = N et on considère
J = {n ∈ I, x n l}. On a alors
[X l] =
n∈J
[X = x n ].
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