Chapitre 8 – Variables aléatoires discrètes
Ces événements étant incompatibles, on en déduit
P([X l]) =
n∈J
P([X = x n ]).
D’autre part, on a E(X) =
n∈I
x n P([X = x n ]). La variable X est positive donc x n 0 pour
tout n ∈ I. On en déduit
E(X)
n∈J
x n P([X = x n ])
n∈J
lP([X = x n ]),
c’est-à-dire E(X) lP([X l]) ou encore P([X l])
E(X)
l
car l > 0.
1. La fonction exp est croissante et l > 0, donc on a
[S n − np nx] = [l(S n − np) lnx] = [e
l(Sn−np)
e
lnx ].
La variable e
l(Sn−np) possède une espérance car elle est finie. On en déduit en appliquant
l’inégalité démontrée précédemment à la variable e
l(Sn−np) ,
P([S n − np nx]) = P([e
l(Sn−np)
e
lnx ])
E(e
l(Sn−np) )
e nlx
·
2. En appliquant la formule de transfert à la variable e
l(Sn−np) = g(S n ), où g : t −→ e
l(t−np) ,
on obtient
E(e
l(Sn−np) ) =
n
k=0
g(k)
n
k
p
k q
n−k =
n
k=0
e
l(k−np)
n
k
p
k q
n−k
= e
−lnp
n
k=0
n
k
(pe
l )
k q
n−k = e
−lnp (pe
l + q)
n
=
e
−lp (pe
l + q)
n = (pe
lq + qe
−lp )
n .
3. Démontrons que, pour tout réel t, e
t
t + e
t
2 , i.e. te
−t + e
t
2 −t
1.
Considérons la fonction f : t −→ te
−t + e
t
2 −t . Sa dérivée est donnée, pour tout réel t, par
f
(t) = (1 − t)e
−t + (2t − 1)e
t
2 −t = e
−t
(1 − t) + (2t − 1)e
t
2
.
On observe que f
(0) = 0. On a e
t
2 1 pour tout réel t. On en déduit si t
1
2
,
(1 − t) + (2t − 1)e
t
2 1 − t + 2t − 1 t > 0 et donc f
(t) > 0.
Si t < 0, on obtient
(1 − t) + (2t − 1)e
t
2 1 − t + 2t − 1 t < 0 et donc f
(t) < 0.
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