Chapitre 8 – Variables aléatoires discrètes
2. a. On a, pour tout t ∈ [0, 1[,
G X (t) − G X (1)
t − 1
=
+∞
n=1
p n
t
n
− 1
t − 1
=
+∞
n=1
p n (1 + t + · · · + t
n−1 ).
Soit t et t
deux réels tel que 0 t t
< 1. On a, pour tout n ∈ N
∗ ,
1 + t + · · · + t
n−1
1 + t
+ · · · + t
n−1
et donc
G X (t) − G X (1)
t − 1
G X (t
) − G X (1)
t − 1
: la fonction t −→
G X (t) − G X (1)
t − 1
est croissante sur [0, 1[.
b. Soit t ∈ [0, 1[. On a, pour tout n ∈ N
∗ ,
p n (1 + t + · · · + t
n−1 ) np n .
Comme X possède une espérance, la série de terme général np n converge. Par croissance de la somme d’une série, on obtient, pour tout t ∈ [0, 1[,
+∞
n=1
p n (1 + t + · · · + t
n−1 )
+∞
n=1
np n c’est-à-dire
G X (t) − G X (1)
t − 1
E(X).
La fonction t −→
G X (t) − G X (1)
t − 1
est croissante sur [0, 1[ et est majorée par E(X). Elle
possède donc une limite finie en 1 à gauche. Autrement dit, la fonction G X possède
une dérivée à gauche en 1 et par passage à la limite dans l’inégalité précédente, on
obtient
(G X )
(1) = lim
t→1
G X (t) − G X (1)
t − 1
E(X).
c. D’après la question a, on a, pour n ∈ N
∗ et t ∈ [0, 1[,
n
k=1
p k (1 + t + · · · + t
k−1 )
G X (t) − G X (1)
t − 1
·
Comme G X est dérivable en 1 à gauche, on obtient en faisant tendre t vers 1 par valeurs
inférieures,
n
k=1
kp k (G X )
(1).
La série à termes positifs
kp k a ses sommes partielles majorées, donc elle converge
et X possède une espérance. En faisant tendre n vers +∞ dans l’inégalité précédente,
on obtient
E(X) (G X )
(1).
Il résulte qu’il y équivalence entre X admet une espérance et G X dérivable à gauche
en 1. Des inégalités démontrées, il résulte que, dans le cas où l’espérance existe,
E(X) = (G X )
(1).
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