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SOLUTIONS
Solutions
échec, car sinon B n est réalisé, et les n − r épreuves précédentes ne doivent pas donner
r succès consécutifs. On a donc
B n+1 \ B n = B n−r ∩ A n−r+1 ∩ A n−r+2 ∩ . . . ∩ A n+1 .
Les épreuves étant indépendantes, on obtient
P(B n+1 \ B n ) = P(B n−r )P(A n−r+1 )P(A n−r+2 ) . . . P(A n+1 ) = (1 − P n−r )(1 − p)p
r .
c. On a déjà vu que la suite (P n ) n∈N est croissante. Comme elle est majorée par 1 (car P n
est une probabilité), elle converge. Notons sa limite. La suite (P n−r ) tend aussi vers
et par passage à la limite dans l’égalité démontrée à la question précédente, on obtient
= + (1 − )p
r (1 − p) et donc = 1, puisque p ∈ ]0, 1[.
2. a. Soit C l’événement « on n’obtient jamais r succès consécutifs ». On a, pour tout n ∈ N
∗ ,
C ⊂ B n et donc 0 P(C) 1 − P n . En faisant tendre n vers +∞, on obtient
P(C) = 0. On est quasi-certain d’obtenir r succès consécutifs. L’application T est donc
définie presque sûrement.
b. On utilise le résultat de l’exercice 3.. On a, pour tout k ∈ N, [T > k] = B k . On en
déduit que P([T > k]) = 1 − P k . Montrons que la série de terme général P([T > k])
converge. Il résulte de la question 1 que, pour tout n r, 1 − P n−r =
P n+1 − P n
(1 − p)p r et
donc, pour tout k ∈ N,
P([T > k]) = 1 − P k =
P k+r+1 − P k+r
(1 − p)p r ·
Pour n ∈ N, on obtient
n
k=0
P([T > k]) =
n
k=0
P k+r+1 − P k+r
(1 − p)p r
=
P n+r+1 − P r
(1 − p)p r ·
Comme la suite (P n ) converge vers 0, on obtient
lim
n→+∞
n
k=0
P([T > k]) =
1 − P r
(1 − p)p r =
1 − p
r
(1 − p)p r ·
La série de terme général P([T > k]) converge, donc d’après l’exercice 3., la variable
T possède une espérance et
E(T ) =
+∞
n=0
P([T > k]) =
1 − p
r
(1 − p)p r ·
12.
1. On a, pour n ∈ N et t ∈ [−1, 1], |p n t
n
| p n . Comme la série de terme général
p n est convergente, de somme 1, la série de terme général p n t
n est absolument convergente pour t ∈ [−1, 1] donc l’ensemble de définition de G X contient [−1, 1]. De plus
G X (1) =
+∞
n=0
p n = 1. Si X est une variable finie, p n est nul pour n assez grand ; la somme
de la série se réduit à une somme finie et G X est définie sur R.
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échec, car sinon B n est réalisé, et les n − r épreuves précédentes ne doivent pas donner
r succès consécutifs. On a donc
B n+1 \ B n = B n−r ∩ A n−r+1 ∩ A n−r+2 ∩ . . . ∩ A n+1 .
Les épreuves étant indépendantes, on obtient
P(B n+1 \ B n ) = P(B n−r )P(A n−r+1 )P(A n−r+2 ) . . . P(A n+1 ) = (1 − P n−r )(1 − p)p
r .
c. On a déjà vu que la suite (P n ) n∈N est croissante. Comme elle est majorée par 1 (car P n
est une probabilité), elle converge. Notons sa limite. La suite (P n−r ) tend aussi vers
et par passage à la limite dans l’égalité démontrée à la question précédente, on obtient
= + (1 − )p
r (1 − p) et donc = 1, puisque p ∈ ]0, 1[.
2. a. Soit C l’événement « on n’obtient jamais r succès consécutifs ». On a, pour tout n ∈ N
∗ ,
C ⊂ B n et donc 0 P(C) 1 − P n . En faisant tendre n vers +∞, on obtient
P(C) = 0. On est quasi-certain d’obtenir r succès consécutifs. L’application T est donc
définie presque sûrement.
b. On utilise le résultat de l’exercice 3.. On a, pour tout k ∈ N, [T > k] = B k . On en
déduit que P([T > k]) = 1 − P k . Montrons que la série de terme général P([T > k])
converge. Il résulte de la question 1 que, pour tout n r, 1 − P n−r =
P n+1 − P n
(1 − p)p r et
donc, pour tout k ∈ N,
P([T > k]) = 1 − P k =
P k+r+1 − P k+r
(1 − p)p r ·
Pour n ∈ N, on obtient
n
k=0
P([T > k]) =
n
k=0
P k+r+1 − P k+r
(1 − p)p r
=
P n+r+1 − P r
(1 − p)p r ·
Comme la suite (P n ) converge vers 0, on obtient
lim
n→+∞
n
k=0
P([T > k]) =
1 − P r
(1 − p)p r =
1 − p
r
(1 − p)p r ·
La série de terme général P([T > k]) converge, donc d’après l’exercice 3., la variable
T possède une espérance et
E(T ) =
+∞
n=0
P([T > k]) =
1 − p
r
(1 − p)p r ·
12.
1. On a, pour n ∈ N et t ∈ [−1, 1], |p n t
n
| p n . Comme la série de terme général
p n est convergente, de somme 1, la série de terme général p n t
n est absolument convergente pour t ∈ [−1, 1] donc l’ensemble de définition de G X contient [−1, 1]. De plus
G X (1) =
+∞
n=0
p n = 1. Si X est une variable finie, p n est nul pour n assez grand ; la somme
de la série se réduit à une somme finie et G X est définie sur R.
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