© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
SOLUTIONS
Solutions
et donc
E(X) = n
1 +
1
2
+ · · · +
1
n
.
Il est connu que, quand n tend vers +∞, 1 +
1
2
+ · · · +
1
n
∼ ln n. On en déduit que
E(X) ∼ n ln n.
9.
1. Supposons que X suit la loi binomiale de paramètre (n, p) et étudions le sens de
variation de la suite
P([X = k])
0kn
. On a pour k ∈ [[0, n]], P([X = k]) =
n
k
p
k q
n−k
et donc pour k ∈ [[1, n]],
u k =
P([X = k])
P([X = k − 1])
=
n
k
p
k q
n−k
n
k−1
p k−1 q n−k+1 =
(n − k + 1)p
kq
·
On a u 1 =
np
q
, u n =
p
nq
et u k décroît avec k.
• Si u 1 < 1, c’est-à-dire np < q ou encore p <
1
n + 1
, on a u k < 1 pour tout k. La suite
P([X = k])
0kn
décroît strictement. Il y a un seul mode 0.
• Si u n > 1, c’est-à-dire p > nq, ou encore p >
n
n + 1
, on a u k > 1 pour tout k. La suite
croît strictement. Il y a un seul mode n.
On suppose désormais
1
n + 1
p
n
n + 1
, c’est à dire u 1 1 et u n 1. Soit k 0 le plus
grand entier tel que u k 1. On a
u k 1 ⇐⇒ (n − k + 1)p kq ⇐⇒ k (n + 1)p.
On a k 0 = E
(n + 1)p
∈ [[1, n]], où E désigne la partie entière.
• Si (n + 1)p /
∈ N, on a u k > 1 si k k 0 et u k < 1 si k > k 0 . La valeur maximale de
P([X = k]) est obtenue uniquement pour k = k 0 . Il y a un seul mode k 0 .
• Si (n + 1)p ∈ N, on a k 0 = (n + 1)p, u k > 1 si k < k 0 et u k < 1 si k > k 0 . On a
P([X = k 0 ]) = P([X = k 0 − 1]). La valeur maximale de P([X = k]) est obtenue pour
k = k 0 et k = k 0 − 1. Il y a deux modes k 0 = (n + 1)p et k 0 − 1 = (n + 1)p − 1.
2. Supposons que X suit la loi de Poisson de paramètre l et étudions le sens de variation de
la suite
P([X = k])
k∈N
. On a pour k ∈ N, P([X = k]) =
e
−l l
k
k!
et donc pour k ∈ N
∗ ,
u k =
P([X = k])
P([X = k − 1])
=
l
k
·
On observe que u k décroît avec k et que
l
k
1 équivaut à k l ou encore à k E(l).
Posons k 0 = E(l).
• Si k 0 = 0, on a, pour tout k 1, u k < 1 donc la suite la suite
P([X = k])
k∈N
décroît
strictement. Il y a un seule mode 0.
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