Chapitre 8 – Variables aléatoires discrètes
Pour tout k ∈ [[1, n]], on a 0
n − k
n
< 1, donc lim
m→+∞
(−1)
k−1
n
k
n − k
n
m
= 0,
car c’est une suite géométrique dont la raison appartient à [0, 1[. On en déduit que la
suite (P([X > m])) converge vers 0, car c’est la somme de n suites tendant vers 0.
Notons B l’événement « on n’obtient jamais les n jetons ». On a pour tout m ∈ N,
B ⊂ [X > m] et donc 0 P(B) P([X > m]). Par passage à la limite, on obtient
P(B) = 0 et donc P(B) = 1. Il est donc quasi-certain qu’on obtient les n jetons au bout
d’un nombre fini de tirages. La variable X est donc définie presque sûrement.
c. D’après l’exercice 3., pour montrer que X admet une espérance, il suffit de montrer
que la série de terme général P([X > m]) converge. L’expression de P([X > m])
trouvée à la question précédente montrer que c’est une somme de n séries géométriques
convergentes, donc c’est une série convergente dont la somme est, toujours d’après
l’exercice 3., égale à E((X). On a, pour 1 k n,
+∞
m=0
(−1)
k−1
n
k
n − k
n
m
= (−1)
k−1
n
k
1
1 −
n − k
n
= n(−1)
k−1
n
k
k
·
Par linéarité de la somme d’un série convergente, on en déduit
E(X) = n
n
k=1
(−1)
k−1
n
k
k
·
d. Considérons la fonction f définie sur R par
f (x) =
n
k=1
(−1)
k−1
n
k
x
k
k
·
On note que E(X) = nf (1). La fonction f est dérivable et
f
(x) =
n
k=1
(−1)
k−1
n
k
x
k−1 =
n
k=1
n
k
(−x)
k−1 .
Pour x = 0, on a donc
f
(x) = −
1
x
n
k=1
n
k
(−x)
k = −
(1 − x)
n
− 1
x
=
1 − (1 − x)
n
x
·
Comme f (0) = 0, on en déduit
f (1) = f (1) − f (0) =
1
0
1 − (1 − x)
n
x
dx.
Avec le changement de variable t = 1 − x, on obtient
f (1) =
1
0
1 − t
n
1 − t
dt =
1
0
(1 + t + · · · + t
n−1 ) dt = 1 +
1
2
+ · · · +
1
n
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