© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
SOLUTIONS
Solutions
On en déduit que, pour tout n ∈ N
∗ ,
P([X n = 1]) −
2
3
=
−
1
2
n−1
P([X 1 = 1]) −
2
3
=
1
3
−
1
2
n−1
et
P([X n = 1]) =
2
3
+
1
3
−
1
2
n−1
On en déduit que, pour tout n 2,
P([X n = 0]) = P([X n = 2]) =
1
4
P([X n−1 = 1]) =
1
6
+
1
12
−
1
2
n−2
=
1
6
−
1
6
−
1
2
n−1
.
De plus, on a
P([X 1 = 0]) = P([X 1 = 2]) = 0.
4. La variable aléatoire X 1 est la variable certaine égale à 1, donc E(X 1 ) = 1. Si n 2, on
trouve
E(X n ) = P([X n = 1]) + 2P([X n = 2]) =
2
3
+
1
3
−
1
2
n−1
+
1
3
−
1
3
−
1
2
n−1
= 1.
8.
1. L’événement B j,m est réalisé si les m premiers donnent un autre jeton que le
j-ième. La probabilité qu’un tirage donne un autre jeton que le j-ième est
n − 1
n
· Les
résultats des différents tirages étant indépendants, on en déduit que P(B j,m ) =
n − 1
n
m
.
Plus généralement, (B j1,m ∩ B j2,m ∩ · · · ∩ B jk,m est réalisé si les m premiers tirages ne donnent
aucun des jetons numérotés j 1 , . . . , j k . La probabilité qu’un tirage ne donne aucun des
jetons numérotés j 1 , . . . , j k est
n − k
n
· Les résultats des différents tirages étant indépendants,
on en déduit que
P(B j1,m ∩ B j2,m ∩ · · · ∩ B jk,m ) =
n − k
n
m
.
2. a. L’événement [X > m] est réalisé si on n’a pas obtenu les n jetons pendant les m premiers tirages, c’est-à-dire si l’un des n jetons n’a pas été obtenu, c’est-à-dire si l’un des
événements B 1,m , B 2,m , · · · , B n,m est réalisé. On a donc
P([X > m]) = B 1,m ∪ B 2,m ∪ · · · ∪ B n,m .
b. On applique la formule du crible. On obtient
P([X > m]) =
n
k=1
(−1)
k−1
1æ1<... P(B j1,m ∩ B j2,m ∩ · · · ∩ B jk,m ).
La somme
1j1<... P(B j1,m ∩ B j2,m ∩ · · · ∩ B jk,m ) contient
n
k
termes tous égaux à
n − k
n
m
d’après la première question. On en déduit
P([X > m]) =
n
k=1
(−1)
k−1
n
k
n − k
n
m
.
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