Chapitre 8 – Variables aléatoires discrètes
2. Pour tout n ∈ N
∗ , on a X n+1 (V) = {0, 1, 2}. On applique la formule des probabilités totales avec le système complet d’événements ([X n = 0], [X n = 1], [X n = 2]). On
remarque que si X n = 0 ou X n = 2, alors X n+1 = 1, car on échange un jeton 0 et un jeton
1. On en déduit que, si k = 0 ou 2, alors
P([X n+1 = k] ∩ [X n = 0]) = P([X n = k] ∩ [X n = 2]) = 0.
On a donc
P([X n+1 = 0]) = P([X n+1 = 0] ∩ [X n = 1]) = P([X n+1 = 0]/[X n = 1])P([X n = 1])
=
1
4
P([X n = 1]).
En effet si X n = 1, pour obtenir X n+1 = 0, il faut échanger le jeton numéroté 1 de la boîte
A avec le jeton numéroté 0 de la boîte B. La probabilité est
1
2
·
1
2
=
1
4
· On obtient de
même
P([X n+1 = 2]) = P([X n+1 = 0] ∩ [X n = 1]) = P([X n+1 = 2]/[X n = 1])P([X n = 1])
=
1
4
P([X n = 1]).
Enfin, on a
P([X n+1 = 1]) = P([X n+1 = 1]/[X n = 0])P([X n = 0])
+ P([X n+1 = 1]/[X n = 1])P([X n = 1])
+ P([X n+1 = 1]/[X n = 2])P([X n = 2])
= P([X n = 0])] +
1
2
P([X n = 1]) + P([X n = 2]).
En effet, comme on l’a déjà noté P([X n+1 = 1]/[X n = 0]) = P([X n+1 = 1]/[X n = 2]) = 1.
Si X n = 1, pour avoir X n+1 = 1, il faut soit échanger les deux jetons numérotés 1, ce qui
est réalisé avec une probabilité
1
4
, soit échanger les deux jetons numérotés 1, ce qui est
réalisé aussi avec une probabilité
1
4
· On obtient donc P([X n+1 = 1]/[X n = 1] = 2
1
4
=
1
2
·
3. La dernière relation obtenue peut s’écrire
P([X n+1 = 1]) = P([X n = 0])] + P([X n = 2]) +
1
2
P([X n = 1])
= 1 − P([X n = 1]) +
1
2
P([X n = 1])
= 1 −
1
2
P([X n = 1]).
La suite (P([X n = 1]) est arithmético-géométrique. Le point fixe de l’application
x −→ 1 −
1
2
x est
2
3
· On obtient, pour tout n ∈ N
∗ ,
P([X n+1 = 1]) −
2
3
= −
1
2
P([X n = 1]) −
2
3
.
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