Chapitre 8 – Variables aléatoires discrètes
• Si k 0 1 et si l n’est pas entier, on a u k > 1 si k k 0 et u k < 1 si k > k 0 . La suite
P([X = k])
k∈N
croît strictement jusqu’à l’entier k 0 puis décroît strictement. Il y un seule
mode k 0 .
• Si l ∈ N
∗ , on a k 0 = l. On obtient u k > 1 si k < k 0 , u k0 = 1 et u k < 1 si k > k 0 . Il y a
deux modes k 0 et k 0 − 1, c’est-à-dire l et l − 1.
10.
1. a. Si u k =
1
k + 2
, alors 1 − u k =
k + 1
k + 2
et pour tout n ∈ N,
q n =
n
k=0
k + 1
k + 2
=
1 · 2 · · · (n + 1)
2 · 3 · · · (n + 2)
=
1
n + 1
·
On en déduit que lim
n→+∞
q n = 0. Le produit
(1 − u k ) est divergent.
Si u k =
1
(k + 2) 2 , alors 1 − u k =
(k + 1)(k + 3)
(k + 2) 2
et pour tout n ∈ N,
q n =
n
k=0
(k + 1)(k + 3)
(k + 2) 2
=
n
k=0
(k + 1)
n
k=0
(k + 3)
n
k=0
(k + 2)
2
=
n+1
k=1
k
n+3
k=3
k
n+2
k=2
k
2
=
(n + 3)
2(n + 2)
·
On en déduit que lim
n→+∞
q n =
1
2
· Le produit
(1 − u k ) est convergent.
b. On a, pour tout k ∈ N, 1 − u k > 0, donc pour tout n ∈ N, q n > 0 et
ln q n =
n
k=0
ln(1 − u k ).
• On note que ln q n est la somme partielle d’indice n de la série de terme général
ln(1 − u n ). Ainsi la suite (ln q n ) converge si et seulement si la série de terme général
ln(1 − u n ) converge.
• Si le produit
(1−u k ) converge, la suite (q n ) converge vers > 0, donc la suite (ln q n )
converge vers ln et la série de terme général ln(1 − u n ) converge. Réciproquement, si
la série de terme général ln(1 − u n ) converge, la suite (ln q n ) converge vers une limite
donc par composition des limites, (q n ) converge vers e
> 0 donc le produit
(1 − u k )
converge.
• Si la série de terme général u n converge, la suite (u n ) converge vers 0, donc
− ln(1 − u n ) ∼ u n . Comme (u n ) est à terme positif, la série de terme général
− ln(1 − u n ) converge et il en est de même de la série de terme général ln(1 − u n ).
Réciproquement si la série de terme général ln(1 − u n ) converge, la suite
ln(1 − u n )
converge vers 0 et par composition des limites (1 − u n ) converge vers e
0 = 1 et (u n )
converge vers 0. On a de nouveau u n ∼ − ln(1 − u n ) et comme la série de terme
général − ln(1 − u n ) converge, il en est de même de la série de terme général u n .
On a démontré qu’il y a équivalence entre la convergence du produit
(1 − u k ), la
convergence de la série de terme général ln(1 − u n ) et la convergence de la série de
terme général u n .
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