© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
SOLUTIONS
Solutions
• Supposons que X suit une loi de Poisson de paramètre l. On obtient
P([Y = 0]) = P([X = 0]) +
+∞
k=0
P([X = 2k + 1]) = e
−l + e
−l
+∞
k=0
l
2k+1
(2k + 1)
·
De
⎧
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩
e
l
=
+∞
k=1
l
k
k!
e
−l
=
+∞
k=1
(−1)
k l
k
k!
, on tire e
l
− e
−l = 2
∞
k=0
l
2k+1
(2k + 1)!
. On en déduit
P([Y = 0]) = e
−l + e
−l e
l
− e
−l
2
= e
−l +
1
2
(1 − e
−2l ).
Pour tout k ∈ N
∗ , on a
P([Y = k]) = P([X = 2k]) = e
−l l
2k
(2k)!
·
Sous réserve de convergence, on a
E(Y ) =
+∞
k=1
kP([Y = k]) =
+∞
k=1
ke
−l l
2k
(2k)!
=
+∞
k=1
e
−l
l
2k
2(2k − 1)!
=
e
−l l
2
+∞
k=1
l
2k−1
(2k − 1)!
·
D’après ce qui précède,
+∞
k=1
l
2k−1
(2k − 1)!
=
+∞
k=0
l
2k+1
(2k + 1)!
=
e
l
− e
−l
2
·
On en déduit que E(Y ) existe et
E(Y ) =
e
−l l
2
e
l
− e
−l
2
=
l(1 − e
−2l )
4
·
5.
1. Comme X suit une loi de Poisson de paramètre 10 000, X admet une espérance
et E(X) = 10 000.
2. Comme les dix entrées sont équiprobables, la probabilité qu’un visiteur rentre par l’entrée
E 1 est
1
10
·
3. D’après la formule des probabilités totales avec le système complet d’événements
([X = n]) n∈N ,
P([X 1 = k]) =
+∞
n=0
P([X 1 = k]/[X = n])P([X = n])
Pour k n + 1, P([X 1 = k]/[X = n]) = 0 et pour k n,
P([X 1 = k]/[X = n]) =
n
k
1
10 k
9
10
n−k
.
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