Chapitre 8 – Variables aléatoires discrètes
b. D’après la question 1, on a, pour tout n ∈ N
∗ ,
n
k=0
kP([X = k])
n−1
k=0
P([X > k])
+∞
k=0
P([X > k]).
La série de terme général positif kP([X = k]) a ses sommes partielles majorées donc elle
converge. Ainsi X admet une espérance et d’après la question précédente,
E(X) =
+∞
k=0
P(X > k).
3. On sait que si X suit une loi géométrique de paramètre p, on a, pour tout entier k,
P([X > k]) = q
k , où q = 1 − p. Comme q ∈ ]0, 1[, la série de terme général converge et
+∞
k=0
q
k =
1
1 − q
=
1
p
· D’après la question 2 b, la variable X possède une espérance égale
à
1
p
·
4.
On a Y (V) ⊂ N. On obtient
[Y = 0] = [X impair] ∪ [X = 0] =
k∈N
[X = 2k + 1] ∪ [X = 0]
et pour k ∈ N
∗ ,
[Y = k] = [X = 2k].
Comme X est une variable aléatoire, [X = k] est un événement pour tout k ∈ N. On en déduit
que [Y = k] est un événement pour tout k ∈ N, car c’est une réunion au plus dénombrable
d’événements. Cela montre que Y est une variable aléatoire discrète.
• Supposons que X suive une loi géométrique de paramètre p. Comme X(V) = N
∗ , on
obtient
P([Y = 0]) =
+∞
k=0
P([X = 2k + 1]) =
+∞
k=0
q
2k p = p
+∞
k=0
(q
2 )
k =
p
1 − q 2 =
1
1 + q
·
Pour tout k ∈ N
∗ , on a
P([Y = k]) = P([X = 2k]) = q
2k−1 p.
Sous réserve de convergence, on a
E(Y ) =
+∞
k=1
kP([Y = k]) =
+∞
k=1
kq
2k−1 p = pq
+∞
k=1
k(q
2 )
k−1 .
On reconnaît une série géométrique dérivée, de raison q
2
∈ ]0, 1[, donc convergente. Ainsi
Y possède une espérance et
E(Y ) =
pq
(1 − q 2 ) 2 =
q
p(1 + q) 2 ·
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