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SOLUTIONS
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c. On peut écrire
E(T N )
N
= 1 −
1 −
1
N
N
= 1 − e
N ln(1−
1
N ) . De ln(1 − u) ∼
u→0
−u, on
tire
lim
N→∞
E(T N )
N
= 1 − e
−1 .
3.
1. On a, pour tout k ∈ N
∗ ,
P[(X = k]) = P([X > k − 1]) − P([X > k]).
On en déduit, par un changement d’indice,
n
k=0
kP([X = k]) =
n
k=1
kP([X = k]) =
n
k=1
k
P([X > k − 1]) − P([X > k])
=
n
k=1
kP([X > k − 1]) −
n
k=1
kP([X > k])
=
n−1
k=0
(k + 1)P([X > k]) −
n
k=1
kP([X > k])
=
n−1
k=0
P([X > k]) − nP([X > n]).
2. a. La série
kP([X = k]) converge et, pour tout n ∈ N,
P([X > n]) =
+∞
k=n+1
P([X = k]).
On en déduit que
0 nP([X > n])
+∞
k=n+1
nP([X = k])
+∞
k=n+1
kP([X = k]).
Comme
+∞
k=n+1
kP([X = k]) est le reste d’une série convergente, on a
lim
n→+∞
+∞
k=n+1
kP([X = k]) = 0
et, par encadrement,
lim
n→+∞
nP([X > n]) = 0.
On en déduit
lim
n→+∞
n−1
k=0
P([X > k]) = lim
n→+∞
n−1
k=0
kP([X = k]) + P([X > n])
=
+∞
k=0
kP([X = k]) = E(X).
Autrement dit la série de terme général P([X > n]) converge et sa somme est E(X).
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