Chapitre 8 – Variables aléatoires discrètes
En utilisant la question précédente, on obtient
G n+1 =
N
k=1
P([T n+1 = k])X
k
=
N
k=1
k
N
P([T n = k])X
k +
N
k=1
N − (k − 1)
N
P([T n = k − 1])X
k
=
X
N
N
k=1
kP([T n = k])X
k−1 +
1
N
N−1
j=0
(N − j)P([T n = j])X
j+1
=
X
N
G
n +
N
j=1
P([T n = j])X
j+1
−
1
N
N
j=1
jP([T n = j])X
j+1 .
ce qui s’écrit finalement
G n+1 =
X
N
G
n + XG n −
X
2
N
G
n .
b. On remarque que E(T n ) = G
n (1). En dérivant la relation précédente, il vient
G
n+1 =
1
N
(1 − 2X)G
n +
1
N
(X − X
2 )G
n + G n + XG
n
ce qui donne en 1, en sachant que G n (1) = 1,
E(T n+1 ) = −
1
N
E(T n ) + 1 + E(T n )
c’est-à-dire
E(T n+1 ) =
1 −
1
N
E(T n ) + 1.
Le traitement d’une telle suite arithmético-géométrique est standard : son point fixe
est N, d’où l’on déduit
E(T n+1 ) − N =
1 −
1
N
(E(T n ) − N) .
La suite (E(T n ) − N) est géométrique donc pour tout n ∈ N,
E(T n ) − N =
1 −
1
N
n−1
(E(T 1 ) − N).
La variable T 1 est la variable certaine égale à 1 donc
E(T n ) = N +
1 −
1
N
n−1
(1 − N) = N
1 −
1 −
1
N
n
.
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