© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
SOLUTIONS
Solutions
il vient
P([X = 1]) =
n−1
j=1
P([Y = 2j − 1]) =
1
n(n − 1)
n−1
j=1
(n − j) =
1
2
·
4. L’événement [X = n] correspond à « la boule noire est sortie à tous les tirages
pairs et n’a pas été choisie lors des tirages impairs, sauf lors du dernier ». On a donc
[X = n] = [X 1 = 0] ∩ [X 2 = 1] ∩ · · · ∩ [X 2n−2 = 1] ∩ [X 2n−1 = 1] En utilisant de
nouveau la formule des probabilités composées, on obtient
P([X = n]) =
n − 1
n
·
1
n − 1
·
n − 2
n − 1
·
1
n − 2
· · · 1 · 1 =
1
n!
·
2.
1. a. Si n N, alors T n (V) = [[1, n]] et si n N, T n (V) = [[1, N]], ce que l’on
peut écrire
T n (V) = [[1, min(n, N)]].
b. • Il y a N
n listes de tirages possibles, toutes équiprobables, et N listes pour lesquelles
[T n = 1] est réalisé (obtenir toujours le même numéro), ce qui donne
P([T n = 1]) =
1
N n−1 ·
• Si n > N, l’événement [T n = n] est impossible, et si n N les listes réalisant
[T n = n] sont les listes de n éléments distincts pris parmi les N éléments présents, soit
P([T n = n]) =
N(N − 1) · · · (N − n + 1)
N n
=
N!
(N − n)! N n ·
c. Les listes réalisant [T n = 2] sont constituées ainsi :
• on choisit les deux éléments a et b obtenus parmi les N ; il y a
N
2
choix ;
• il existe 2
n n-listes ne contenant que des a et b dont il faut exclure celles qui ne
contienne que a ou b qui réalisent [T n = 1] et pas [T n = 2]. On obtient
P([T n = 2]) =
N
2
(2
n
− 2)
N n
·
2. Si on réalise [T n+1 = k], alors au rang précédent T n n’a pu prendre que les valeurs k − 1
ou k. Dans le premier cas, on obtient au n-ième tirage un nouveau numéro, parmi les
N − (k − 1) numéros non encore obtenus, et dans le second cas, on obtient au n-ième
tirage, un des k numéros déjà obtenus. On a donc
P([T n+1 = k]) = P([T n+1 = k] ∩ [T n = k]) + P([T n+1 = k] ∩ [T n = k − 1])
= P [Tn=k] ([T n+1 = k])P([T n = k]) + P [Tn=k−1] ([T n+1 = k])P([T n = k − 1])
=
k
N
P([T n = k]) +
N − (k − 1)
N
P([T n = k − 1]).
Notons que la relation reste vérifiée pour k = 1, car P([T n = 0]) = 0.
3. a. On a G n =
N
k=1
P([T n = k])X
k , donc G
n =
N
k=1
kP([T n = k])X
k−1 .
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SOLUTIONS
Solutions
il vient
P([X = 1]) =
n−1
j=1
P([Y = 2j − 1]) =
1
n(n − 1)
n−1
j=1
(n − j) =
1
2
·
4. L’événement [X = n] correspond à « la boule noire est sortie à tous les tirages
pairs et n’a pas été choisie lors des tirages impairs, sauf lors du dernier ». On a donc
[X = n] = [X 1 = 0] ∩ [X 2 = 1] ∩ · · · ∩ [X 2n−2 = 1] ∩ [X 2n−1 = 1] En utilisant de
nouveau la formule des probabilités composées, on obtient
P([X = n]) =
n − 1
n
·
1
n − 1
·
n − 2
n − 1
·
1
n − 2
· · · 1 · 1 =
1
n!
·
2.
1. a. Si n N, alors T n (V) = [[1, n]] et si n N, T n (V) = [[1, N]], ce que l’on
peut écrire
T n (V) = [[1, min(n, N)]].
b. • Il y a N
n listes de tirages possibles, toutes équiprobables, et N listes pour lesquelles
[T n = 1] est réalisé (obtenir toujours le même numéro), ce qui donne
P([T n = 1]) =
1
N n−1 ·
• Si n > N, l’événement [T n = n] est impossible, et si n N les listes réalisant
[T n = n] sont les listes de n éléments distincts pris parmi les N éléments présents, soit
P([T n = n]) =
N(N − 1) · · · (N − n + 1)
N n
=
N!
(N − n)! N n ·
c. Les listes réalisant [T n = 2] sont constituées ainsi :
• on choisit les deux éléments a et b obtenus parmi les N ; il y a
N
2
choix ;
• il existe 2
n n-listes ne contenant que des a et b dont il faut exclure celles qui ne
contienne que a ou b qui réalisent [T n = 1] et pas [T n = 2]. On obtient
P([T n = 2]) =
N
2
(2
n
− 2)
N n
·
2. Si on réalise [T n+1 = k], alors au rang précédent T n n’a pu prendre que les valeurs k − 1
ou k. Dans le premier cas, on obtient au n-ième tirage un nouveau numéro, parmi les
N − (k − 1) numéros non encore obtenus, et dans le second cas, on obtient au n-ième
tirage, un des k numéros déjà obtenus. On a donc
P([T n+1 = k]) = P([T n+1 = k] ∩ [T n = k]) + P([T n+1 = k] ∩ [T n = k − 1])
= P [Tn=k] ([T n+1 = k])P([T n = k]) + P [Tn=k−1] ([T n+1 = k])P([T n = k − 1])
=
k
N
P([T n = k]) +
N − (k − 1)
N
P([T n = k − 1]).
Notons que la relation reste vérifiée pour k = 1, car P([T n = 0]) = 0.
3. a. On a G n =
N
k=1
P([T n = k])X
k , donc G
n =
N
k=1
kP([T n = k])X
k−1 .
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