Chapitre 8 – Variables aléatoires discrètes
b. Comme X =
n
k=1
X k , on obtient, par linéarité de l’espérance,
E(X) =
2n−1
k=1
E(X k ) =
2n − 1
n
·
3. a. On a Y (V) ⊂ [[1, 2n − 1]].
L’événement [Y = 2n − 1] correspond à « la boule noire est sortie pour la première
fois au dernier tirage ». Le tirage précédent étant pair, il y a eu remise, et c’est la même
boule qui est sortie au (2n − 2)-ième tirage. Ainsi la boule noire ne peut être sortie au
dernier tirage pour la première fois et P([Y = 2n − 1]) = 0.
Pour 1 k 2n − 2, on a
[Y = k] = [X 1 = 0] ∩ [X 2 = 0] ∩ · · · ∩ [X k−1 = 0] ∩ [X k = 1].
Par la formule des probabilités composées, il vient en distinguant les cas k impair et k
pair, pour 1 j n − 1,
P([Y = 2j − 1]) =
n − 1
n
·
n − 2
n − 1
·
n − 2
n − 1
· · ·
n − j
n − j + 1
·
1
n − j + 1
=
(n − 1)(n − 2)
2
· · · (n − j)
n(n − 1) 2 · · · (n − j + 1) 2 =
n − j
n(n − 1)
P([Y = 2j]) =
n − 1
n
·
n − 2
n − 1
·
n − 2
n − 1
· · ·
n − j
n − j + 1
·
n − j
n − j + 1
1
n − j
=
(n − 1)(n − 2)
2
· · · (n − j)
2
n(n − 1) 2 · · · (n − j + 1) 2 (n − j)
=
n − j
n(n − 1)
·
On en déduit
E(Y ) =
2n−2
k=1
kP([X = k]) =
n−1
j=1
(2j − 1)P([Y = 2j − 1]) + (2j)P([Y = 2j])
=
n−1
j=1
(4j − 1)
n − j
n(n − 1)
= −
4
n(n − 1)
n−1
j=1
j
2 +
4n + 1
n(n − 1)
n−1
j=1
j −
1
n − 1
n−1
j=1
1
= −
4(n − 1)n(2n − 1)
6n(n − 1)
+
(4n + 1)n(n − 1)
2n(n − 1)
−
n − 1
n − 1
= −
4n − 2
3
+
4n + 1
2
− 1 =
4n + 1
6
·
b. Seuls les tirages d’ordre impair font disparaître la boule noire dès son apparition. Donc
[X = 1] =
n−1
j=1
[Y = 2j −1]. Ces derniers événements étant deux à deux incompatibles,
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