Chapitre 8 – Variables aléatoires discrètes
On en déduit
P([X 1 = k]) =
+∞
n=k
n
k
1
10 k
9
10
n−k e
−10 000 10 000
n
n!
=
e
−10 000 10
3k
k!
+∞
n=k
1
(n − k)!
9.10
3
n−k
=
e
−10 000 10
3k
k!
+∞
n=0
1
n!
9.10
3
n
=
e
−10 000 10
3k
k!
e
9 000 =
e
−1 000 10
3k
k!
·
Donc X 1 suit une loi de Poisson de paramètre 10
3 . Ainsi X 1 admet une espérance et une
variance E(X 1 ) = V (X 1 ) = 10
3 .
4. Soit Y 1 le nombre de visiteurs entrant par E 1 en payant. On a Y 1 =
9X 1
10
et E(Y 1 ) = 900.
6.
1. a. On note que si x ∈ ]0, 1[, ln x < 0 donc f (x) > 0. De plus f (0) = f (1) = 0
donc f (x) 0 pour tout x ∈ [0, 1]. Pour tout x ∈ E, P([X = x]) ∈ [0, 1] donc
f (P([X = x])) 0. On en déduit que
H(X) 0.
b. Si X est constante, il existe a ∈ E tel que P([X = a]) = 1 et, pour x ∈ E \ {a},
P([X = x]) = 0. On a donc H(X) = 0, puisque f (0) = f (1) = 0.
c. Si X suit une loi uniforme, on a, pour tout x ∈ E, P([X = x]) =
1
N
et donc
f (P([X = x])) = −
1
N
ln
1
N
=
ln N
N
· On en déduit
H(X) = N
ln N
N
= ln N.
2. a. Posons, pour x 0, g(x) = f (x) + x − 1. On a, pour x > 0, g
(x) = − ln x. La fonction
g croît strictement sur ]0, 1] et décroît strictement sur [1, +∞[. Son maximum sur
]0, +∞[ est atteint en 1 seulement et vaut g(1) = 0. On a donc g(x) 0 pour x > 0.
Cela reste vrai en 0 car g(0) = −1.
On a donc pour tout x 0, g(x) 0, donc f (x) 1 − x avec égalité si et seulement
si x = 1.
b. On a, pour tout x ∈ E, f (NP([X = x])) 1 − NP([X = x]). En additionnant ces
inégalités, on obtient
x∈E
f (NP([X = x]))
x∈E
(1 − NP([X = x])) .
Comme
x∈E
P([X = x]) = 1, d’après les propriétés de la loi d’une variable aléatoire
discrète, on a
x∈E
(1 − NP([X = x])) = N − N
x∈E
P([X = x]) = N − N = 0,
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