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SOLUTIONS
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2. Ainsi
+∞
0
sin t
t
dt =
lim
(´,x)→(0,+∞)
x
´
sin t
t
dt =
+∞
0
1 − cos t
t 2
dt ; en utilisant le changement de variable t = 2u, on obtient
+∞
0
sin t
t
dt =
+∞
0
sin
2 t
t 2 dt·
5.
Dans tous les cas étudiés, la fonction f : t ∈ [e, +∞[ →
(ln t)
b
t a est continue et positive.
1. Pour a > 1. Pour tout réel b, lim
t→+∞
(ln t)
b
t h = 0 et 1 + h > 1 On sait alors (voir intégrales
des fonctions dites de Riemann) que l’intégrale
+∞
e
1
t 1+h dt converge. Il en résulte alors,
par comparaison, que
+∞
e
(ln t)
b
t a dt converge.
2. Pour a < 1. Pour tout réel b, lim
t→∞
t
h (ln t)
b = +∞, il existe donc A > 0 tel que pour tout
t > A,
(ln t)
b
t a
1
t (1−h) et 1−h < 1, l’intégrale
+∞
e
1
t (1−h) dt diverge, donc
∞
e
(ln t)
b
t a dt
diverge.
3. Supposons a = 1
• Si b = −1, pour tout T ∈ [e, +∞[,
T
e
1
t
(ln t)
b dt =
(ln T)
b+1
− 1
b + 1
.
Si b + 1 > 0, lim
T→+∞
(ln T )
b+1 = +∞, l
int´ egrale diverge;
Si b + 1 < 0, lim
T→+∞
(ln T )
b+1 = 0, l
int´ egrale converge.
• Si b = −1, pour tout T ∈ [e, +∞[,
T
e
1
t ln t
dt = ln(ln T )) et lim
T→+∞
ln(ln T ) = +∞,
l’intégrale est divergente.
6.
1. En utilisant le changement de variable u = ct, on a
x
´
e
−ct dt =
cx
c´
e
−u du, donc
x
´
e
−t
− e
−ct
t
=
x
´
e
−t
t
dt −
cx
c´
e
−t
t
dt =
c´
´
e
−t
t
dt −
cx
x
e
−t
t
dt.
2. Étudions la fonction : x ∈ [1, +∞[ →
cx
x
e
−t
t
dt.
Pour tout t ∈ [1, +∞[, 0
e
−t
t
e
−t , l’intégrale
+∞
1
e
−t
t
dt est donc convergente,
posons I =
+∞
1
e
−t
t
dt.
Soit F : T ∈ [1, +∞[ →
T
1
e
−t
t
dt, on a
cx
x
e
−t
t
dt = F(cx) − F(x) et
lim
x→+∞
F(cx) = lim
x→+∞
F(x) = I, donc lim
x→+∞
cx
x
e
−t
t
dt = 0.
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