Chapitre 6 – Extension de la notion d’intégrale
• Considérons maintenant le changement de variable t =
√
n tan u.
On a
1 +
t
2
n
−n
= cos
2n u et dt =
√
n
1
cos 2 u
du,
donc
√
n
0
1 +
t
2
n
−n
dt =
√
n
p/4
0
(cos u)
2n−2 du.
• On en déduit que
√
n
p/2
0
(sin u)
2n+1 du
√
n
0
e
−t
2
dt
et que
√
n
0
e
−t
2
dt
√
n
p/4
0
(cos u)
2n−2 du
√
n
p/2
0
(cos u)
2n−2 du.
3. Pour tout n ∈ N,
p/2
0
(sin t)
n dt =
p/2
0
(cos t)
n dt,
On a donc
lim
n→+∞
√
n
p/2
0
(sin u)
2n+1 du =
1
2
√
p
et
lim
n→+∞
√
n
p/2
0
(cos u)
2n−2 du =
1
2
√
p.
Par conséquent,
+∞
0
e
−t
2
dt = lim
n→+∞
√
n
0
e
−t
2
dt =
1
2
√
p·
4.
1. Soit (´, x) ∈ R
2 ; 0 < ´ < x, calculons
x
´
sin t
t
dt par une intégration par
parties en choisissant « u =
1
t
, v
= sin t ». On a alors u
= −
1
t 2 , v = C − cos t, C étant
une constante réelle que l’on choisira « au mieux ».
On obtient
x
´
sin t
t
dt =
C − cos t
t
x
´
+
x
´
C − cos t
t 2
dt·
Pour tout C, lim
x→+∞
C − cos x
x
= 0, et la limite de
C − cos ´
´
lorsque ´ tend vers zéro
existe si et seulement si C = 1, on a alors lim
´→0
1 − cos ´
´
= lim
´→0
t
2 /2
t
= 0·
La fonction f : t ∈ ]0, +∞[ →
1 − cos t
t
est continue et positive, elle possède une limite
en zéro, donc
1
0
1 − cos t
t 2
dt converge, de plus f (t)
2
t 2 ,
+∞
1
dt
t 2 converge, donc
+∞
1
1 − cos t
t 2
dt converge.
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