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SOLUTIONS
Solutions
• Si x 0, lim
t→0
f (t) = 0, l’intégrale
1
2
0
f (t) dt converge et
1
0
f (t) dt converge.
• Si x < 0, lim
t→0
1 − t
ln t
= 0, il existe t 0 tel que ∀t ∈ ]0, t 0 [ , |f (t)|
1
t |x| ·
Si |x| < 1, soit x > −1, l’intégrale
1
2
0
f (t) dt converge donc l’intégrale
1
0
f (t) dt
converge.
Si x = −1, f (t) ∼
o
1
t ln t
. Soit ´ > 0, on a
1
2
´
1
t ln t
dt = ln(ln 2) − ln(| ln ´|), or
lim
´→0
ln(| ln ´|) = +∞, l’intégrale est donc divergente.
Si x < −1,
1
t |x| | ln t|
1
t| ln t|
, donc l’intégrale diverge.
En résumé, l’intégrale converge si et seulement si x > −1.
6. Pour tout x ∈ R, la fonction f : t ∈ ]0, 1[ →
ln t ln(1 − t)
t
t
−x est continue positive,
Considérons la fonction g : t ∈ ]0, 1[ →
ln t ln(1 − t)
t
. Elle est continue et positive.
• Au voisinage de 1, on a g(t) ∼
1
− ln t ln(1 − t) ∼
1
(1 − t) ln(1 − t), donc lim
t→1
f (t) = 0,
l’intégrale
1
1/2
f (t) dt converge.
• Au voisinage de 0, on a g(t) ∼
0
− ln t et f (t) ∼
1
−t
−x ln t, l’intégrale
1/2
0
f (t) dtconverge
si et seulement si x < 1. (On peut se référer à l’exercice 1, question 3.)
L’ensemble des réels x tels que l’intégrale converge est donc la demi-droite ]−∞, 1[ .
3.
1. On sait que pour tout u ∈ ]0, +∞[ , ln u u−1 ( la fonction ln est une fonction
concave), donc pour tout t ∈ [0,
√
n[, on a
ln
1 −
t
2
n
−
t
2
n
, (u = 1 −
t
2
n
) et ln
1 +
t
2
n
t
2
n
, (u = 1 +
t
2
n
).
Ainsi e
n ln(1−
t 2
n )
e
−t
2 , soit
1 −
t
2
n
n
e
−t
2 ,
de même, e
n ln(1+
t
2
n
) e
t
2 , soit e
−t
2
1
1 +
t
2
n
n ·
2. • Considérons le changement de variable t =
√
n cos u.
On a
√
n
0
1 −
t
2
n
n
dt =
√
n
p/2
0
(sin u)
2n+1 du.
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