Chapitre 6 – Extension de la notion d’intégrale
On a
(n+1)p
np
e
−xt sin t
t
dt = (−1)
n e
−xnp
p
0
e
−xu sin u
u + np
du.
Or
0
p
0
e
−xu sin u
u + np
du
1
(n + 1)p
p
0
e
−xu sin u du,
donc
(n+1)p
np
e
−xt sin t
t
dt
e
−xnp
(n + 1)p
p
0
e
−xu sin u du,
x étant négatif, on a lim
n→+∞
e
−xnp
(n + 1)p
= +∞.
Si l’intégrale
+∞
1
e
−xt sin t
t
dt était convergente, on aurait
lim
n→+∞
F(np) =
+∞
1
e
−xt sin t
t
dt = lim
n→+∞
F
(n + 1)p
,
donc lim
n→+∞
F(np) − F((n + 1)p) = 0 ; l’intégrale est donc divergente.
En résumé,
Si x > 0,
+∞
1
e
−xt sin t
t
dt est absolument convergente ;
Si x = 0,
+∞
1
e
−xt sin t
t
dt est semi convergente ;
Si x < 0,
+∞
1
e
−xt sin t
t
dt est divergente.
3. Pour tout x ∈ R, la fonction f : t ∈ [0, +∞[ →
e
−xt
2
1 + t 2 est continue.
• Si x 0, pour tout t ∈ [0, +∞[, 0 f (t)
1
1 + t 2 , l’intégrale est donc convergente.
• Si x < 0, lim
t→+∞
f (t) = +∞, l’intégrale diverge.
4. Pour tout x ∈ R, la fonction f : t ∈ ]0, +∞[ →
1 − cos tx
t 2
e
−t est continue, positive, et
lim
t→0
1 − cos tx
t 2
=
x
2
2
, l’intégrale
1
0
f (t) dt est donc convergente.
Pour tout t 1, f (t) 2e
−t , l’intégrale
+∞
1
f (t) dt est donc convergente , on en déduit
que
+∞
0
1 − cos tx
t 2
e
−t dt converge.
5. Pour tout x ∈ R la fonction f : t ∈ ]0, 1[ →
1 − t
ln t
t
x est continue, négative et
lim
t→1
1 − t
ln t
= −1, donc lim
t→1
f (t) = −1, et l’intégrale
1
1
2
f (t) dt converge.
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