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SOLUTIONS
Solutions
- Si x < 1, on a
lim
´→0
−´
1−x ln ´ −
1
1 − x
(1 − ´
1−x )
= −
1
1 − x
.
- Si x > 1,
−´
1−x ln ´ −
1
1 − x
(1 − ´
1−x )
n’a pas de limite lorsque ´ tend vers zéro.
* Si x = 1, pour tout ´ > 0, on a
1
´
ln t
t
dt = −
1
2
(ln ´)
2 , donc l’intégrale
1
0
f (t)dt
diverge.
4. Pour tout T ∈ [0, +∞[, désignant la partie imaginaire d’un complexe, on a :
T
0
e
−xt sin t dt =
T
0
e
(−x+i)t dt
=
e
(i−x)T
− 1
i − x
=
1 − e
−xT (x sin T + cos T )
1 + x 2
·
La fonction F : T ∈ [0, +∞[ →
1 − e
−xT (x sin T + cos T )
1 + x 2
a une limite lorsque T tend
vers l’infini si et seulement si x > 0, on a alors
+∞
0
e
−xt sin t dt =
1
1 + x 2 ·
2.
1. Pour tout x ∈ R, la fonction t ∈ ]0, +∞[ →
Arctan
x
t
1 + t 2 est continue et pour tout
t ∈ ]0, +∞[, on a
Arctan
x
t
1 + t 2
p/2
1 + t 2 , l’intégrale est donc convergente pour tout x ∈ R.
2. Pour tout x ∈ R, la fonction f : t ∈ ]0, +∞[ → e
−xt sin t
t
est continue et lim
t→0
f (t) = 1,
l’intégrale
1
0
e
−xt sin t
t
dt est donc convergente.
• Pour tout x > 0, e
−xt
sin t
t
e
−xt , l’intégrale
+∞
1
e
−xt sin t
t
dt est donc absolument
convergente.
On en déduit que pour tout x > 0, l’intégrale
+∞
0
e
−xt sin t
t
dt est convergente.
• Si x = 0, on sait que
+∞
0
sin t
t
dt est convergente.
• Si x < 0, définissons la fonction F : T ∈ ]0, +∞[ →
T
0
e
−xt sin t
t
dt.
Considérons F((n + 1)p) − F(np) =
(n+1)p
np
e
−xt sin t
t
dt.
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