Chapitre 6 – Extension de la notion d’intégrale
2. Il est immédiat que pour tout (x, y) ∈ R
2
∂F
∂y
(x, y) = Q(x, y).
D’après la question précédente, pour tout (x, y) ∈ R
2 , on peut exprimer F(x, y) sous la
forme
F(x, y) =
x
0
P(u, y) du +
y
0
Q(0, v) dv,
et donc
∂F
∂x
(x, y) = P(x, y).
En d’autres termes dF = v.
Chapitre 6
1.
1. Pour tout T ∈ [1, +∞[,
T
1
Arcsin
1
t
dt =
t Arcsin
1
t
T
1
+
T
1
1
√
t 2 − 1
dt
= T Arcsin
1
T
−
p
2
+ ln
T +
T 2 − 1
.
Donc
T
1
1
t
− Arcsin
1
t
dt = ln T − T Arcsin
1
T
+
p
2
− ln
T +
T 2 − 1
.
Or lim
t→+∞
ln
T +
T 2 − 1
− ln T = lim
t→+∞
ln
1 +
1 −
1
T 2
= ln 2.
Ainsi
+∞
1
1
t
− Arcsin
1
t
dt = lim
T→+∞
T
1
1
t
− Arcsin
1
t
dt =
p
2
− 1 − ln 2
≈ −0, 122.
2. Posons I n =
1
0
(ln t)
n dt. Grâce à une intégration par parties, on montre que pour tout
n ∈ N
∗ , I n = −nI n−1 , on en déduit I n = (−1)
n n!.
On peut aussi utiliser le changement de variable : u = − ln t, on a alors
I n = (−1)
n
+∞
0
u
n e
−u du = (−1)
n G(n + 1) = (−1)
n n!.
3. La fonction f : t ∈ ]0, 1] →
ln t
t x est continue et négative.
* Si x = 1. Pour tout ´ ∈]0, 1[,
1
´
f (t) dt =
1
1 − x
t
1−x ln t
1
´
−
1
´
t
−x dt.
=
1
1 − x
−´
1−x ln ´ −
1
1 − x
(1 − ´
1−x )
.
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