Chapitre 6 – Extension de la notion d’intégrale
3. Étudions maintenant la fonction : ´ ∈ ]0, 1] →
c´
´
e
−t
t
dt·
Au voisinage de 0, on a
e
−t
t
∼
1
t
, nous allons comparer
c´
´
e
−t
t
dt avec
c´
´
1
t
dt, pour
cela, nous écrivons
c´
´
e
−t
t
dt =
c´
´
e
−t
− 1
t
dt +
c´
´
1
t
dt.
On a lim
t→0
e
−t
− 1
t
= −1, l’intégrale
1
0
e
−t
− 1
t
dt converge, posons J =
1
0
e
−t
− 1
t
dt,
on a lim
´→0
´
0
e
−t
− 1
t
dt = lim
´→0
c´
0
e
−t
1
t
dt = J,
donc lim
´→0
c´
´
e
−t
− 1
t
dt = 0.
D’autre part
c´
´
1
t
dt = ln c, ainsi
+∞
0
e
−t
− e
−ct
t
dt = ln c.
4. Avec le changement de variable u = at, on obtient
+∞
0
e
−at
− e
−bt
t
dt =
+∞
0
e
−u
− e
−
b
a u
u
du,
d’où le résultat.
7.
La fonction : t ∈ ]0, 1] →
Arctan t
t
est continue et lim
t→0
Arctan t
t
= 1, l’intégrale
1
0
Arctan t
t
dt est donc convergente, de même que l’intégrale
1
0
Arctan pt
t
dt.
Pour tout x ∈ ]0, +∞[ ,
x
0
Arctan pt − Arctan t
t
dt =
px
x
Arctan u
u
du.
Au voisinage de l’infini, on a Arctan u ∼
p
2
,
alors
px
x
Arctan u
u
du =
px
x
Arctan u −
p
2
u
du +
p
2
px
x
du
u
·
Pour tout u ∈ ]0, +∞[ , Arctan u −
p
2
= − Arctan
1
u
, donc
Arctan u −
p
2
u
∼
+∞
−
1
u 2 et
+∞
1
Arctan u −
p
2
u
du converge, on a donc lim
x→+∞
px
x
Arctan u −
p
2
u
du = 0·
D’autre part
px
x
1
u
du = ln p, donc
+∞
0
Arctan pt − Arctan t
t
dt =
p
2
ln p·
8.
1. La fonction f : t ∈ ]0, 1[ → (− ln t)
a (1 − t)
b , f est continue et positive.
• Au voisinage de 1, on a ln t ∼ t −1, donc f (t) ∼ (1 − t)
a+b , on en déduit que
1
1
2
f (t) dt
converge si et seulement si a + b > −1
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