Chapitre 5 – Fonctions de plusieurs variables
que le théorème de Schwarz s’appliquent donc et pour tout couple (u, v) élément de V,
∂g
∂u
(u, v) =
∂f
∂x
(u, uv) + v
∂f
∂y
(u, uv) ,
∂
2 g
∂u 2 (u, v) =
∂
2 f
∂x 2 (u, uv) + 2v
∂
2 f
∂x∂y
(u, uv) + v
2 ∂
2 f
∂y 2 (u, uv) ·
Si f vérifie l’équation étudiée, on a pour tout (u, v) ∈ V
u
2 ∂
2 f
∂x 2 (u, uv) + 2u
2 v
∂
2 f
∂x∂y
(u, uv) + (uv)
2 ∂
2 f
∂y 2 (u, uv) = u
2 ∂
2 g
∂u 2 (u, v) = 0.
Il s’ensuit qu’il existe nécessairement deux fonctions w et c définies sur R telles que pour tout
(u, v) ∈ R
2 , g(u, v) = w(v) + uc(v). La fonction g étant de classe C
2 , les fonctions w et c sont
donc nécessairement de classe C
2 . Ainsi, pour tout (x, y) ∈ V
f (x, y) = w
y
x
+ xc
y
x
.
On vérifie alors sans difficulté que toute fonction f : (x, y) → w
y
x
+ xc
y
x
, définie sur
V, où w et c sont des fonctions de classe C
2 quelconques, est une solution de l’équation.
9.
Il est clair que m(X) = 0. Pour tout couple de réels (a, b), du fait que l’application
m : R
n
→ R est manifestement linéaire, on a
f (a, b) =
n
k=1
y k − m(Y )
− a
x k − m(X)
−
b + am(X) − m(Y )
2
= a
2 s
2 (X) − 2ag(X, Y ) + s
2 (Y ) +
b + am(X) − m(Y )
2
= s
2
Y − aX
+
b + am(X) − m(Y )
2 .
Il s’ensuit que f (a, b) s
2
Y − aX
pour tout couple (a, b). Une brève étude de la fonction
a → a
2 s
2 (X) − 2ag(X, Y ) + s
2 (Y ) montre que le minimum de celle-ci est atteint uniquement en
g(X, Y )
s 2 (X)
· En effet, l’hypothèse que les abscisses ne sont pas toutes égales garantit que
s
2 (X) = 0. Il s’ensuit que pour tout couple (a, b) ∈ R
2
{(a 0 , b 0 )}, f (a, b) > f (a 0 , b 0 ), où
a 0 =
g(X, Y )
s 2 (X)
; b 0 = m(Y ) − a 0 m(X).
➤ Remarque
La droite de régression de Y en X d’un « nuage de points » est la droite D qui minimise la somme des carrés des
distances des points M i au points M
i , où M
i est le point de même abscisse que M i sur la droite D.
482