© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
SOLUTIONS
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f , dont on a admit l’existence, est atteint en un point de V ; ce point est donc un point
critique. On en déduit que le maximum est atteint en
2p
3
,
4p
3
. Ainsi, les triangles de
périmètre maximum inscrits dans un cercle sont les triangles équilatéraux.
7.
1. Il est clair que la restriction de f à R
2
{(0, 0)} est de classe C
2 . Par ailleurs
pour tout réel x f (x, 0) = 0 ; on en déduit que
∂f
∂x
est définie en (0, 0) et
∂f
∂x
(0, 0) = 0.
De même
∂f
∂x
(0, 0) = 0. Pour démontrer que f est de classe C
1 , il suffit maintenant de
démontrer la continuité des applications dérivées partielles en (0, 0). Pour tout couple de
réels (x, y), avec (x, y) = (0, 0), on a
∂f
∂x
(x, y) =
4x
2 y
3 + x
4 y − y
5
x 2 + y 2
2 ·
En notant (x, y) = (r cos u, r sin u), on obtient
∂f
∂x
(x, y)
= r
4 cos
2 u sin
3 u + cos
4 u sin u − sin
5 u
6r
et donc pour tout couple de réels (x, y), on a
∂f
∂x
(x, y) −
∂f
∂x
(0, 0)
=
∂f
∂x
(x, y)
6 ||(x, y)|| ,
ce qui nous permet de conclure quant à la continuité de
∂f
∂x
en (0, 0). Puisque
f (x, y) = −f (y, x), on a pour tout couple de réels (x, y),
∂f
∂y
(x, y) = −
∂f
∂x
(y, x). Il s’ensuit
que
∂f
∂y
est également une fonction continue.
2. Pour tout réel y,
∂f
∂x
(0, y) = −y et donc
∂
2 f
∂y∂x
(0, 0) = −1. De même pour tout réel x,
∂f
∂y
(x, 0) = x et donc
∂
2 f
∂x∂y
(0, 0) = 1.
3. Puisque
∂
2 f
∂x∂y
(0, 0) =
∂
2 f
∂y∂x
(0, 0), d’après le théorème de Schwarz, f n’est pas de classe
C
2 .
8.
Soit f une fonction de classe C
2 quelconque, définie sur V. On définit sur V la
fonction g par g(u, v) = f (u, uv). Par composition, g est de classe C
2 . La règle des chaînes, ainsi
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