Chapitre 5 – Fonctions de plusieurs variables
Cas a ∈ {−1, 1} et ab − g = 0
Alors pour tout couple de réels (x, y)
(x + ay + b)
2 = x
2 + y
2 + b
2 + 2axy + 2bx + 2aby = f (x, y) + b
2 .
Il s’ensuit que tous les points critiques, c’est-à-dire tous les points de la droite d’équation
X + aY + b = 0, sont des minima globaux.
Cas a ∈ {−1, 1} et ab − g = 0
La fonction f n’admet pas de points critiques et donc n’admet pas d’extremum.
6.
1. On a pour tout couple (a, b) de réels,
− −−−−− →
A(a)A(b)
cos b − cos a
sin b − sin a
et donc
− −−−−− →
A(a)A(b)
2
= 2 − 2 cos (b − a) = 4 sin
2
b − a
2
·
Ainsi, pour tout couple
u, u
vérifiant 0 u u
2p,
f (u, u
) = 2 sin
u
2
+ 2 sin
u
2
+ 2 sin
u
− u
2
,
cela du fait que les trois réels
u
2
,
u
2
et
u
− u
2
sont des éléments de [0, p].
2. Considérons l’ouvert V =
u, u
∈ R
2
| 0 < u < u
< 2p
. Les points critiques de la
restriction de f à V sont les points (u, u
) vérifiant
⎧
⎪ ⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎪ ⎩
∂f
∂u
(u, u
) = cos
u
2
− cos
u
− u
2
= 0
∂f
∂u (u, u
) = cos
u
2
+ cos
u
− u
2
= 0
Ainsi, on a nécessairement cos
u
2
= − cos
u
2
, et donc
u
2
= p + ±
u
2
(mod 2p) et
puisque
u
2
et
u
2
sont des éléments de [0, p],
u
2
= p −
u
2
·
Par ailleurs, u doit vérifier la relation cos
u
2
= cos
u
− u
2
= cos (p − u). Ainsi, soit
u
2
= p − u (mod 2p) — c’est-à-dire u =
2p
3
(mod
4p
3
) —, soit
u
2
= u − p (mod 2p)
— c’est-à-dire u = 2p (mod 4p) —. Ce dernier cas est exclu, donc
2p
3
,
4p
3
est
l’unique point critique de f sur l’ouvert V et f
2p
3
,
4p
3
= 3
√
3. Par ailleurs, si u = 0,
ou u
= 2p ou bien encore si u = u
, alors f
u, u
4. Il s’ensuit que le maximum de
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