© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
SOLUTIONS
Solutions
2. L’hypothèse w
(a) = 0 et w
(a) = 0 donne que w admet un extremum strict en a. Dans le
cas w
(a) > 0, le tableau de variations de w est comme suit.
x
−∞
a
+∞
w
(x)
−
0
+
w
w(a)
Il s’ensuit que w admet un minimum global en a. Dans le cas w
(a) < 0, w admet un
maximum global en a. On a des résultats similaires en ce qui concerne c. Par ailleurs, f est
évidemment de classe C
1 et il est facile de constater que (a, b) est l’unique point critique de
f . Plusieurs cas se présentent alors.
Cas w
(a) > 0 et c
(b) > 0
Puisque pour tout réel t on a w(t) w(a) et c(t) c(b), on a pour tout couple de réels
(x, y)
f (x, y) = w(x) + c(y) w(a) + c(b),
et donc (a, b) est un minimum global strict de f .
Cas w
(a) < 0 et c
(b) < 0
De même (a, b) est un maximum global strict de f .
Cas w
(a)c
(b) < 0
Le point (a, b) est évidemment un col.
3. La fonction f est polynomiale, et donc de classe C
1 . Les points critiques (x, y) sont caractérisés
⎧
⎪ ⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎪ ⎩
∂f
∂x
(x, y) = 2x + 2ay + 2b = 0
∂f
∂y
(x, y) = 2ax + 2y + 2g = 0.
soit encore
(S)
x + ay = −b
(1 − a
2 )y = ab − g.
Ici encore, plusieurs cas se présentent.
Cas a /
∈ {−1, 1}
Le système (S) est de Cramer ; le point (x 0 , y 0 ) =
ag − b
1 − a 2 ,
ab − g
1 − a 2
est l’unique point
critique. Introduisons la fonction g : (h, k) → f (x 0 + h, y 0 + k) définie sur R
2 . Il s’agit d’un
polynôme dont (0, 0) est un point critique ; il s’ensuit que les termes de degré un sont nuls
et donc, pour tout couple de réels (h, k)
g(h, k) = h
2 + 2ahk + k
2 + g(0, 0) = (h + ak)
2 +
1 − a
2
k
2 + g(0, 0).
Ainsi lorsque a ∈ ]−1, 1[, le point (x 0 , y 0 ) est un minimum global strict et que si |a| > 1,
le point (x 0 , y 0 ) est un col.
479