Chapitre 5 – Fonctions de plusieurs variables
Cas l < 0
Il existe deux constantes réelles a et b telle que pour tout x ∈ R
3
{0}
f (x) =
a cos
√
−l x
+ b sin
√ −l x
x
·
5.
1. La fonction f est polynomiale, donc elle est de classe C
1 . Cherchons d’abord les
points critiques. Les points critiques (x, y) sont caractérisés par
(E)
⎧
⎪ ⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎪ ⎩
∂f
∂x
(x, y) = 3x
2 + y = 0
∂f
∂y
(x, y) = 3y
2 + x = 0.
En soustrayant les deux équations de (E), on obtient (x − y)
3(x + y) − 1
= 0.
Si 3(x + y) − 1 = 0, alors en additionnant les deux équations de (E), on obtient
3(x
2 + y
2 ) +
1
3
= 0, ce qui est absurde. Ainsi f admet exactement deux points critiques
(0, 0) et
−
1
3
, −
1
3
.
Le point (0, 0)
Puisque 0 n’est ni un maximum, ni un minimum de x → f (x, 0), le point (0, 0) n’est pas
un extremum.
Le point
−
1
3 , −
1
3
Posons g(h, k) = f
−
1
3
+ h, −
1
3
+ k
, c’est-à-dire
g(h, k) = −h
2 (1 − h) − k
2 (1 − k) + hk + a.
(a = f
−
1
3 , −
1
3
) On sait que pour tous réels h et k, on a hk
h
2 + k
2
2
et donc
g(h, k) − g(0, 0) −h
2
1
2
− h
− k
2
1
2
− k
.
On en déduit que si (h, k)
1
4
,
g(h, k) − g(0, 0) −
h
2 + k
2
4
< 0,
et ainsi le point
−
1
3 , −
1
3
est un maximum local de f . La fonction f n’a pas de maximum
global.
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