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SOLUTIONS
Solutions
Chapitre 5
1.
a. Pour tout (x, y) ∈ R
2
{ (0, 0) }, en notant (x, y) = (r cos u, r sin u), on a
x
2 + xy + y
2 = r
2
1 +
sin 2u
2
r
2
2
·
Il s’ensuit que f est bien définie sur R
2
{ (0, 0) }, de classe C
1 en tant que quotient de
polynômes et
0 f (x, y) = r
2
sin
2 2u
4
1 +
sin 2u
2
(x, y)
2
2
·
On en déduit que lim
(x,y)→(0,0)
f (x, y) = 0. On note encore f le prolongement par continuité
de f sur R
2 .
Pour tout (x, y) ∈ R
2
{ (0, 0) }, on a
∂f
∂x
(x, y) =
x
2 y
3 + 2xy
4
x 2 + xy + y 2
2 et puisque
x → f (x, 0) = 0, on a également
∂f
∂x
(0, 0) = 0. Alors pour tout (x, y) ∈ R
2
{ (0, 0) }, en
posant (x, y) = (r cos u, r sin u), on vérifie facilement que
∂f
∂x
(x, y) −
∂f
∂x
(0, 0)
= r
cos
2 u sin
3 u + 2 cos u sin
4 u
1 +
sin 2u
2
2
12(x, y).
Il s’ensuit que
∂f
∂x
est continue en (0, 0). Puisque pour tout (x, y) ∈ R
2 , f (x, y) = f (y, x),
on a, toujours pour tout (x, y) ∈ R
2 ,
∂f
∂y
(x, y) =
∂f
∂x
(y, x). Ainsi
∂f
∂y
est également continue
sur R
2 et le prolongement par continuité de f est de classe C
1 .
b. Il est clair que f est définie sur R
2
{ (0, 0) }. Pour tout (x, y) ∈ R
2
{ (0, 0) }, en posant
(r cos u, r sin u), on a f (x, y) = r
cos
3 u − sin
3 u
. De l’inégalité
|f (x, y)| 2 (x, y)
on déduit que lim
(x,y)→(0,0)
f (x, y) = 0. On note encore f le prolongement par continuité sur
R
2 .
On a pour tout (x, y) ∈ R
2
{ (0, 0) },
∂f
∂x
(x, y) =
x
4 + 3x
2 y
2 + 2xy
4
x 2 + y 2
2
,
et puisque f (x, 0) = x,
∂f
∂x
(0, 0) = 1. En particulier, pour tout t ∈ R
∗ ,
∂f
∂x
(t, t) =
3
2
; si
f était de classe C
1 , on aurait lim
t→0 +
∂f
∂x
(t, t) =
3
2
= 1, ce qui est absurde. Le prolongement
par continuité de f n’est donc pas de classe C
1 .
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