Chapitre 5 – Fonctions de plusieurs variables
c. Si f admet un prolongement par continuité, on aurait lim
t→0 +
f (t, 0) = lim
t→0 +
f (t, t). Or, pour
tout réel non nul t, f (t, 0) = 0 et f (t, t) =
1
2
· Il s’ensuit que f ne pas être prolongée par
continuité.
2.
1. Il est clair que l’application (x, y) → f (x) − f (y) est de classe C
1 ainsi que l’application polynomiale (x, y) → x − y. Il s’ensuit que f est bien de classe C
1 sur l’ouvert
R
2
D, en tant que quotient de fonctions de classe C
1 .
2. Pour tout (x, y) ∈ R
2
D, il existe d’après le théorème de Taylor-Lagrange un réel
u ∈ ]0, 1[ tel que
∂g
∂x
(x, y) =
f (y) − f (x) − (y − x)f
(x)
(x − y) 2
=
f
x + u(y − x)
2
·
Par ailleurs, pour tout réel x et pour tout réel h non nul, on a
g(x + h, x) − g(x, x)
h
=
f (x + h) − f (x) − hf
(x)
h 2
,
et donc d’après la formule de Taylor-Young,
∂g
∂x
(x, x) =
f
(x)
2
· En résumé, pour tout
(x, y) ∈ R
2 , il existe un réel u ∈ ]0, 1[ tel que
∂g
∂x
(x, y) =
f
x + u(y − x)
2
·
Soit un réel x et ´ un réel strictement positif. La continuité de f
en x donne l’existence d’un réel strictement positif h tel que pour tout réel t vérifiant |t| h on ait
|f
(x + t) − f
(x)| ´. On fixe un tel h. En remarquant que pour tout couple (h, k) ∈ R
2
on a |k − h| 2 (h, k) , on obtient que tout (h, k) vérifiant (h, k)
h
3
, on a
∂g
∂x
(x + h, x + k) −
∂g
∂x
(x, x)
=
1
2
f
x + h + u(k − h)
− f
(x)
´·
Il s’ensuit que l’application
∂g
∂x
est continue en (x, x), et ceci pour tout x ∈ R ; ainsi
∂g
∂x
est continue sur D et donc sur R
2 . On conclut en remarquant que f (x, y) = f (y, x) pour
tout couple (x, y) ∈ R
2 et donc que
∂g
∂y
(x, y) =
∂g
∂x
(y, x).
3.
Soit f une fonction homogène de degré a et x un élément de R
n . Posons w l’application définie sur R
∗
+ par t → f (tx). D’après la proposition 5, on a pour tout réel strictement
positif t
w
(t) =
n
k=1
x k
∂f
∂x k
(tx) .
Mais, w(t) = t
a f (x), et donc tout réel strictement positif t
w
(t) = at
a−1 f (x).
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