Chapitre 4 – Séries numériques
avec |R n |
1
2 (2n + 1)
2 · Puisque lim
n→+∞
R n = 0, on peut déduire de la relation (ii)
g = lim
n→+∞
ln (2n + 1) + S − R n − ln n = ln 2 + S.
Ainsi S = g − ln 2, et donc
n
k=1
1
k
= ln
n +
1
2
+ g − R n ,
ce qui est ce qu’il fallait démontrer.
4. Pour tout ´ > 0, on aura
n
k=1
1
k
− ln
n +
1
2
− g
´ dès lors que
1
2 (2n + 1)
2 ´ ⇐⇒ n
1
2
1
√
2´
− 1
.
Au d’autres termes, lorsque n =
1
2
1
√
2´
− 1
,
n
k=1
1
k
− ln
n +
1
2
est une
approximation de g à ´ près. (On rappelle que pour tout réel x, que sa partie entière
supérieure, notée x, est le plus petit entier relatif n vérifiant x n.) On en déduit
facilement la fonction Scilab suivante.
function g = euler(epsilon)
n=ceil((1/sqrt(2*epsilon)-1)/2) ;
s=0 ;
for k=1 :n
s=s+1/k ;
end ;
g=s-log(n+0.5) ;
endfunction
On peut donc avoir la session suivante.
-->euler(1E-14)
ans =
0.5772 1566 4900 6561
Par ailleurs g = 0, 5772 1566 4901 5328 . . . . Ainsi, la douzième décimale de
euler(1E-14) est fausse. Cela provient des erreurs numériques (arrondis) dont nous
n’avons pas tenu compte : nous n’avons tenu compte que de l’erreur de méthode.
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