© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
SOLUTIONS
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Cette dernière égalité provient de ce que
(a − t)
2
2
f
(t)
c
a
=
(b − a)
2
8
f
(c) et
(b − t)
2
2
f
(t)
b
c
= −
(b − a)
2
8
f
(c). Ainsi
b
a
f (t) dt − (b − a) f (c)
c
a
(a − t)
2
2
|f
(t)| dt +
b
c
(b − t)
2
2
|f
(t)| dt
c
a
(b − a)
2
8
|f
(t)| dt +
b
c
(b − a)
2
8
|f
(t)| dt
=
(b − a)
2
8
b
a
|f
(t)| dt =
(b − a)
2
8
b
a
f
(t) dt
,
(f
est de signe constant)
ce qui est ce qu’il fallait démontrer.
2. On peut, quitte à passer à l’opposée, supposer que f est convexe. Alors
f (n) −
n+
1
2
n−
1
2
f (t) dt
1
8
f
n +
1
2
− f
n −
1
2
·
La série télescopique
f
n +
1
2
− f
n −
1
2
étant convergente, la série
f (n) −
n+
1
2
n−
1
2
f (t) dt est absolument convergente.
Dans la formule (i), R n est le reste d’ordre n de la série
f (n) −
n+
1
2
n−
1
2
f (t) dt et donc,
puisque f
est croissante
|R n |
+∞
k=n+1
f (n) −
n+
1
2
n−
1
2
f (t) dt
1
8
+∞
k=n+1
f
k +
1
2
− f
k −
1
2
= −
1
8
f
n +
1
2
;
ce qui est l’inégalité demandée.
3. En appliquant ce qui précède à la fonction t →
1
t
, qui est de classe C
+∞ , convexe et dont
la dérivée tend vers 0, on obtient, pour tout entier n 1
(ii)
n
k=1
1
k
= ln (2n + 1) + S − R n ,
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