Chapitre 4 – Séries numériques
Ce calcul et la question 6 nous donnent alors
+∞
k=1
(−1)
k+1
k 2
=
p
2
12
·
En utilisant le fait que la série
1
n 2 est convergente et en remarquant que
+∞
k=1
(−1)
k+1
k 2
=
+∞
k=0
1
(2k + 1)
2 −
+∞
k=1
1
(2k)
2
=
+∞
k=1
1
k 2 − 2
+∞
k=1
1
(2k)
2
=
1
2
+∞
k=1
1
k 2
on obtient finalement
+∞
k=1
1
k 2 =
p
2
6
·
➤ Remarques
• On obtient facilement
+∞
k=0
1
(2k + 1)
2
=
p
2
8
·
• On démontre plus généralement qu’il existe une suite
bp
de nombres rationnels, telle que pour tout entier
naturel non nul p
+∞
k=1
1
k 2p =
2
2p−1
(2p)!
b2p p
2p ,
la suite (bp) étant définie par récurrence par b0 = 0 et la relation
p
k=0
p + 1
k
(−1)
k b k = 0.
• En revanche on ne connaît pas d’expression « simple » de
+∞
k=1
1
k 2p+1
14.
1. On a
b
a
f (t) dt − (b − a) f (c) =
b
a
f (t) − f (c)
dt
=
c
a
f (t) dt +
b
c
f (t) dt
(Relation de Chasles)
=
c
a
(a − t) f
(t) dt +
b
c
(b − t) f
(t) dt (Intégrations par parties)
=
c
a
(a − t)
2
2
f
(t) dt +
b
c
(b − t)
2
2
f
(t) dt.
(Intégrations par parties)
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