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SOLUTIONS
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4. Le terme général d’une série convergente tendant toujours vers 0, |c n (f ) |
2 — et
donc c n (f ) — converge vers 0. De même pour la suite
c −n (f )
. Enfin, puisque
p
−p
f (t) cos (nt) dt = p
c n (f ) + c −n (f )
et
p
−p
f (t) sin (nt) dt = p
c n (f ) − c −n (f )
i
, on en
déduit que
lim
n→+∞
p
−p
f (t) cos (nt) dt = lim
n→+∞
p
−p
f (t) sin (nt) dt = 0.
5. Pour entier naturel n et pour tout réel t, t = 0 (mod 2p), on a
D n (t) = e
−int
2n
k=0
e
ikt = e
−int 1 − e
i(2n+1)t
1 − e it =
sin
n +
1
2
t
sin
t
2
·
Par ailleurs, pour tout t = 0 (mod 2p), D n (t) = 2n + 1.
6. D’après le calcul précédent, pour tout entier n
p
−p
t
2 D n (t)dt =
p
−p
t
2
sin
t
2
sin
n +
1
2
t
dt =
p
−p
g(t) sin
n +
1
2
t
dt.
L’application g : t →
t
2
sin
t
2
(avec g(0) = 0) est évidemment continue sur [−p, p]. Il
s’ensuit, d’après la question 4, que
lim
n→+∞
p
−p
t
2 D n (t) dt = lim
n→+∞
p
−p
t
2 cos (nt) dt + lim
n→+∞
p
−p
g(t) cos
t
2
sin (nt) = 0.
7. Il est clair que
p
−p
t
2 dt =
2
3
p
3
·
Pour tout entier naturel non nul k, une intégration par parties donne
p
−p
t
2 e
ikt dt = −
2
ik
p
−p
te
ikt dt ;
puis une autre donne
p
−p
t
2 e
ikt dt = −
2
k 2
p
−p
e
ikt dt +
2
k 2
e
ikt
p
−p
.
Puisque
p
−p
e
ikt dt = 0,
p
−p
t
2 e
ikt dt = 4p
(−1)
k
k 2 ·
Ainsi, pour tout entier naturel non nul n
p
−p
t
2 D n (t) dt = 2p
p
2
3
+ 4
n
k=1
(−1)
k
k 2
.
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