Chapitre 4 – Séries numériques
Puisque
1
2p
p
−p
e
i(k−)x dx =
⎧
⎨
⎩
1,
si k = ;
e
i(k−)x
i (k − )
p
−p
= 0, sinon,
on a, par linéarité de l’intégrale
1
2p
p
−p
|P n (f ) (x)|
2 dx =
1
2p
−nk,n
c k (f ) c (f )
p
−p
e
i(k−)x dx =
n
k=−n
|c k (f ) |
2 .
2. Soit un entier naturel non nul n. Alors
1
2p
p
−p
f (x)P n (f ) (x) dx =
1
2p
p
−p
n
k=−n
c n (f )e
−ikx f (x) dx
=
n
k=−n
c n (f )
1
2p
p
−p
e
−ikx f (x) dx
=
n
k=−n
|c k (f ) |
2 .
De même
1
2p
p
−p
f (x)P n (f ) (x) dx =
1
2p
p
−p
f (x)P n (f ) (x) dx =
n
k=−n
|c k (f ) |
2 .
Ainsi,
1
2p
p
−p
|f (x) − P n (f ) (x) |
2 dx =
1
2p
p
−p
|f (x)|
2 dx +
1
2p
p
−p
|P n (f ) (x) |
2 dx
−
1
2p
p
−p
f (x)P n (f ) (x) dx −
1
2p
p
−p
f (x)P n (f ) (x) dx
=
1
2p
p
−p
|f (x)|
2 dx −
n
k=−n
|c k (f ) |
2 .
3. Il s’ensuit pour tout entier naturel n que
n
k=−n
|c k (f ) |
2
1
2p
p
−p
|f (t) |
2 dt.
(Inégalité de Bessel)
En particulier
n
k=0
|c k (f ) |
2
1
2p
p
−p
|f (t) |
2 dt.
Les sommes partielles de la série à terme général positif
|c n (f ) |
2 sont majorées ; il s’ensuit
que la série
|c n (f ) |
2 converge. On raisonne de même pour la série
|c −n (f ) |
2 .
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