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SOLUTIONS
Solutions
On remarque alors, en notant f p,k (x) = (k + p) · · · (k + 1) c k+p x
k , que pour tout entier naturel k
a p,k = max
x∈[−m,m]
f
p,k
=
(k + p) · · · (k − 1)
c k+p
m
k−2 , si k 2 ;
0,
sinon.
D’après l’étude faite ci-dessus, la série
a p,k converge, et donc d’après la question a),
g
p = g p+1 . On en déduit alors à l’aide d’un facile raisonnement par récurrence que g = g 0
est de classe C
+∞ .
Soit x ∈ ]−r, r[. Puisque x ∈ [−m, m], où m =
|x| + r
2
et que 0 < m < r, on peut
appliquer ce qui précède ; l’application f : x →
+∞
k=0
c k x
k est définie en x, et donc sur
]−r, r[. La caractère C
∞ de f est alors simple à établir.
3. Montrons d’abord que l’application g : x →
+∞
k=0
e
−bkx est bien définie sur [1, +∞[. Puisque
la série
e
−bk est convergente, lim
n→+∞
e
−bk = 0 et donc b k > 0 à partir d’un certain rang.
Il s’ensuit que pour tout x 1, 0 < e
−bkx
e
−bk à partir d’un certain rang. Ainsi, d’après
le théorème de comparaison, la série
e
−bkx est convergente.
Soit m un réel strictement supérieur à 1. Notons, pour tout entier naturel p,
g p : x →
+∞
k=0
(−b k )
p e
−bkx .
Puisque lim
n→+∞
b n = +∞, pour tout x m, (−b k )
p e
−bkx = o
e
−bk
et donc g p est définie
sur [m, +∞[. Les fonctions f p,k : x → (−b k )
p e
−bkx sont de classe C
2 et pour tout n > m
a p,k = max
x∈[m,n]
f
p,k
= b
p+2
k e
−bkm .
Le théorème de comparaison garantit la convergence de la série
a p,k et donc que g p est
dérivable sur [m, n]. On conclut de la même manière que plus haut.
13.
Les coefficient c k (f ) sont bien définies, car f est continue par morceaux.
1. Pour tout entier naturel n et pour tout réel x ∈ [−p, p]
|P n (f ) (x)|
2 =
n
k=−n
c k (f ) e
ikx
n
=−n
c (f ) e ix
=
n
k=−n
c k (f ) e
ikx
n
=−n
c (f )e
−ix
=
−nk,n
c k (f ) c (f )e
i(k−)x .
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SOLUTIONS
Solutions
On remarque alors, en notant f p,k (x) = (k + p) · · · (k + 1) c k+p x
k , que pour tout entier naturel k
a p,k = max
x∈[−m,m]
f
p,k
=
(k + p) · · · (k − 1)
c k+p
m
k−2 , si k 2 ;
0,
sinon.
D’après l’étude faite ci-dessus, la série
a p,k converge, et donc d’après la question a),
g
p = g p+1 . On en déduit alors à l’aide d’un facile raisonnement par récurrence que g = g 0
est de classe C
+∞ .
Soit x ∈ ]−r, r[. Puisque x ∈ [−m, m], où m =
|x| + r
2
et que 0 < m < r, on peut
appliquer ce qui précède ; l’application f : x →
+∞
k=0
c k x
k est définie en x, et donc sur
]−r, r[. La caractère C
∞ de f est alors simple à établir.
3. Montrons d’abord que l’application g : x →
+∞
k=0
e
−bkx est bien définie sur [1, +∞[. Puisque
la série
e
−bk est convergente, lim
n→+∞
e
−bk = 0 et donc b k > 0 à partir d’un certain rang.
Il s’ensuit que pour tout x 1, 0 < e
−bkx
e
−bk à partir d’un certain rang. Ainsi, d’après
le théorème de comparaison, la série
e
−bkx est convergente.
Soit m un réel strictement supérieur à 1. Notons, pour tout entier naturel p,
g p : x →
+∞
k=0
(−b k )
p e
−bkx .
Puisque lim
n→+∞
b n = +∞, pour tout x m, (−b k )
p e
−bkx = o
e
−bk
et donc g p est définie
sur [m, +∞[. Les fonctions f p,k : x → (−b k )
p e
−bkx sont de classe C
2 et pour tout n > m
a p,k = max
x∈[m,n]
f
p,k
= b
p+2
k e
−bkm .
Le théorème de comparaison garantit la convergence de la série
a p,k et donc que g p est
dérivable sur [m, n]. On conclut de la même manière que plus haut.
13.
Les coefficient c k (f ) sont bien définies, car f est continue par morceaux.
1. Pour tout entier naturel n et pour tout réel x ∈ [−p, p]
|P n (f ) (x)|
2 =
n
k=−n
c k (f ) e
ikx
n
=−n
c (f ) e ix
=
n
k=−n
c k (f ) e
ikx
n
=−n
c (f )e
−ix
=
−nk,n
c k (f ) c (f )e
i(k−)x .
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