Chapitre 4 – Séries numériques
et d’après le théorème des gendarmes, lim
n→+∞
n!
+∞
k=n+2
1
k!
= 0. Ainsi,
lim
n→+∞
n!
+∞
k=n
1
k!
= lim
n→+∞
1 +
1
n + 1
+ n!
+∞
k=n+2
1
k!
= 1,
ce qui est ce qu’il fallait démontrer.
12.
1. Soit k un entier naturel. La formule de Taylor-Lagrange appliquée à la fonction
f k donne l’existence d’un réel u k ∈ ]0, 1[ tel que
f k (x + h) − f k (x) − hf
k (x) =
h
2
2
f
k (x + u k h) .
Il est alors immédiat que
|f k (x + h) − f k (x) − hf
k (x)|
h
2
2
a k .
Puisque la série
a n est convergente, le théorème de comparaison donne que la série
f k (x + h) − f k (x) − hf
k (x) est absolument convergente et donc convergente. Puisque
les série
f n (x) et
f n (x + h) sont supposées convergentes et puisque h est non nul, par
linéarité, la série
f
n (x) est convergente.
Les propriétés de linéarité et l’inégalité triangulaire pour les séries donnent alors
f (x + h) − f (x) − h
+∞
k=0
f
k (x)
=
+∞
k=0
f (x + h) − f (x) − hf
k (x)
+∞
k=0
|f (x + h) − f (x) − hf
k (x) |
h
2
2
+∞
k=0
a k .
La conclusion quant à la dérivabilité de f est alors immédiate.
2. Soit m un réel, 0 < m < r et posons M un majorant de
|c n | r
n
. Notons de plus, pour
tout entier naturel p, g p : [−m, m] → R l’application définie par
g p (x) =
+∞
k=p
k (k − 1) · · · (k − p + 1) c k x
k−p .
Puisque, pour tout p ∈ N, pour tout entier k p et pour tout x ∈ [−m, m]
k (k − 1) · · · (k − p + 1) c k x
k
k (k − 1) · · · (k − p + 1) |c k | m
k
= k (k − 1) · · · (k − p + 1) |c k | r
k
m
r
k
M k (k − 1) · · · (k − p + 1)
m
r
k
,
la série
k (k − 1) · · · (k − p + 1) c k x
k converge absolument en vertu du théorème relatif
aux séries dérivées des séries géométriques et du théorème de comparaison ; la fonction g p
est bien définie.
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et d’après le théorème des gendarmes, lim
n→+∞
n!
+∞
k=n+2
1
k!
= 0. Ainsi,
lim
n→+∞
n!
+∞
k=n
1
k!
= lim
n→+∞
1 +
1
n + 1
+ n!
+∞
k=n+2
1
k!
= 1,
ce qui est ce qu’il fallait démontrer.
12.
1. Soit k un entier naturel. La formule de Taylor-Lagrange appliquée à la fonction
f k donne l’existence d’un réel u k ∈ ]0, 1[ tel que
f k (x + h) − f k (x) − hf
k (x) =
h
2
2
f
k (x + u k h) .
Il est alors immédiat que
|f k (x + h) − f k (x) − hf
k (x)|
h
2
2
a k .
Puisque la série
a n est convergente, le théorème de comparaison donne que la série
f k (x + h) − f k (x) − hf
k (x) est absolument convergente et donc convergente. Puisque
les série
f n (x) et
f n (x + h) sont supposées convergentes et puisque h est non nul, par
linéarité, la série
f
n (x) est convergente.
Les propriétés de linéarité et l’inégalité triangulaire pour les séries donnent alors
f (x + h) − f (x) − h
+∞
k=0
f
k (x)
=
+∞
k=0
f (x + h) − f (x) − hf
k (x)
+∞
k=0
|f (x + h) − f (x) − hf
k (x) |
h
2
2
+∞
k=0
a k .
La conclusion quant à la dérivabilité de f est alors immédiate.
2. Soit m un réel, 0 < m < r et posons M un majorant de
|c n | r
n
. Notons de plus, pour
tout entier naturel p, g p : [−m, m] → R l’application définie par
g p (x) =
+∞
k=p
k (k − 1) · · · (k − p + 1) c k x
k−p .
Puisque, pour tout p ∈ N, pour tout entier k p et pour tout x ∈ [−m, m]
k (k − 1) · · · (k − p + 1) c k x
k
k (k − 1) · · · (k − p + 1) |c k | m
k
= k (k − 1) · · · (k − p + 1) |c k | r
k
m
r
k
M k (k − 1) · · · (k − p + 1)
m
r
k
,
la série
k (k − 1) · · · (k − p + 1) c k x
k converge absolument en vertu du théorème relatif
aux séries dérivées des séries géométriques et du théorème de comparaison ; la fonction g p
est bien définie.
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