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SOLUTIONS
Solutions
série
(−1)
k u k
2k + 1
est une série alternée. D’après l’exercice 2, pour tout entier naturel n
p −
n
k=0
(−1)
k
2k + 1
16
1
5
2k+1
− 4
1
239
2k+1
16
1
5
2n+3 − 4
1
239
2n+3
2n + 3
·
De tout cela on peut déduire une méthode de calcul approché de p. C’est cette méthode
qui est utilisée par la fonction Scilab suivante.
function n= machin(epsilon)
n=0 ; u=1/5 ; v=1/239 ; a=u^ 2 ; b=v^ 2 ; s=0 ; r=(16*u-4*v)/(2*n+1) ;
while r>=epsilon
if modulo(n,2)==0
s=s+r ;
else
s=s-r ;
end
n=n+1 ;
u=a*u ;
v=b*v ;
r=(16*u-4*v)/(2*n+1) ;
end
endfunction
Dans cette analyse, nous n’avons tenu compte que de l’erreur théorique, et pas des erreurs
d’arrondis qui s’ajoutent nécessairement à l’erreur théorique.
11.
1. Pour tout entier n 2 et pour tout k ∈ Ú1, n − 2Û
k!
n!
=
1
n (n − 1) · · · (k + 1)
1
n (n − 1)
·
On en déduit que pour tout entier n 2
1
1! + · · · + n!
n!
(n − 2)
1
n (n − 1)
+
1
n
+ 1 = 1 +
2n − 3
n (n − 1)
·
On conclut alors facilement à l’aide du théorème des gendarmes.
2. Pour tout entier naturel n et pour tout entier k n + 2, on a
n!
k!
=
1
(n + 1) · · · (k − 1) k
1
(k − 1) k
=
1
k − 1
−
1
k
·
Il s’ensuit que
0 n!
+∞
k=n+2
1
k!
+∞
k=n+2
1
k − 1
−
1
k
=
1
n + 1
,
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