Chapitre 4 – Séries numériques
croissante sur R, on a 0 < Arctan
1
5
<
p
8
. Il s’ensuit que 0 < 2 Arctan
1
5
<
p
4
et que
tan
2 Arctan
1
5
=
5
12
,
puis que 0 < 4 Arctan
1
5
<
p
2
et que
tan
4 Arctan
1
5
=
2
5
12
1 −
5
12
2 =
120
119
·
Puisque 4 Arctan
1
5
et Arctan
1
239
sont des éléments de
0,
p
2
, u = 4 Arctan
1
4
−Arctan
1
239
est un élément de
−
p
2
,
p
2
. On en déduit que
tan u =
120
119 −
1
239
1 +
120
119
1
239
= 1
et que
4 Arctan
1
4
− Arctan
1
239
= Arctan 1 =
p
4
·
Cette formule est due au mathématicien anglais John Machin (1680-1751), qui fut un des
professeurs d’un certain Brook Taylor. . .
6. Ainsi, pour tout x ∈ [0, 1]
Arctan x =
+∞
k=0
(−1)
k
2k + 1
x
2k+1
et donc
p =
+∞
k=0
(−1)
k u k
2k + 1
,
où u k = 16
1
5
2k+1
− 4
1
239
2k+1
· On constate que la suite (u k ) est décroissante ; en
effet, pour tout entier naturel k
u k u k+1 ⇐⇒ 4
1
5
2k+1
1 −
1
25
1
239
2k+1
1 −
1
239 2
⇐⇒
239
5
2k+1
25
96
1 −
1
239 2
;
cette dernière assertion étant vraie pour tout entier naturel k car
229
5
2k+1
239
5
1
et
25
96
1. La suite (u k ) étant décroissante, a fortiori la suite
u k
2k + 1
est décroissante et la
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