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SOLUTIONS
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suite bornée et d’une suite tendant vers 0), on a
lim
n→+∞
n
k=0
a k b k =
+∞
k=0
S k (b k − b k+1 ) ,
ce qui assure la convergence de la série
a k b k .
3. Il suffit de montrer que la série
e
inu
n
est convergente, et d’après ce qui précède, il suffit
de montrer que la suite (S n ), où
∀n ∈ N
∗
S n =
n
k=1
e
iku ,
est bornée. Or, puisque e
iu
= 1, pour tout entier naturel n
|S n | =
e
iu 1 − e
inu
1 − e iu
=
e
i
n+1
2 u sin
n
2 u
sin
u
2
1
sin
u
2
·
Le résultat s’ensuit.
9.
Notons w : N → N l’application définie par w(n) = 10
n
− 1. Clairement, l’application
w est strictement croissante et pour tout entier naturel non nul k,
c k = n ⇐⇒ w (n − 1) < k w (n) .
i) D’après la proposition 7 relative à la sommation par paquets des séries à terme général
positif page 94, les séries
1
c n
et
a n sont de même nature, où pour tout entier naturel
non nul n, a n =
10
n −1
k=10 n−1
1
n
=
9 × 10
n−1
n
· Puisque lim
n→+∞
a n = +∞, la série
a n , et donc
la série
1
c n
, est divergente.
ii) De même, les séries
1
nc n
et
a n sont de même nature, où pour tout entier naturel
non nul n, a n =
10
n −1
k=10 n−1
1
nk
· Or
10
n −1
k=10 n−1
1
nk
10
n −1
k=10 n−1
1
n10 n =
9
10
×
1
n
,
et donc d’après le théorème de comparaison, la série harmonique étant divergente, la
série
a n et donc la série
1
nc n
est divergente.
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