Chapitre 4 – Séries numériques
Si
a n
S n
converge. Alors lim
n→+∞
a n
S n
= 0. Il s’ensuit que
ln
1 −
a n
S n
∼
a n
S n
et toujours d’après la règle des équivalents, la série
ln
1 −
a n
S n
converge et donc la
série
a n converge.
3. D’après ce qui précède,
a n
S n
est divergente. Il reste alors deux cas.
Cas a < 1. Alors
a n
S n
= o
a n
S a
n
— car lim
n→+∞
S n = +∞ — et d’après ce qui précède,
a n
S a
n
est divergente.
Cas a > 1. Pour tout entier naturel non nul n, puisque l’application t →
1
t a est décroissante sur R
∗
+
Sn
Sn−1
dt
t a
Sn
Sn−1
1
S a
n
dt =
a n
S a
n
·
Il s’ensuit, d’après le relation de Chasles, que pour tout entier naturel non nul n
n
k=1
a k
S a
k
Sn
S0
dt
t a =
1
a − 1
1
S
a−1
0
−
1
S a−1
n
1
(a − 1) S
a−1
0
·
Les sommes partielles de la série à terme général positif
a n
S a
n
étant bornées, la série
a n
S a
n
est convergente.
8.
1. La relation est immédiate lorsque n = 0. Sinon, en remarquant que, pour tout
k 1, a k = S k − S k−1 , on obtient
n
k=0
a k b k = b 0 S 0 +
n
k=1
b k (S k − S k−1 ) =
n
k=0
b k S k −
n−1
k=0
b k+1 S k
=
n−1
k=0
S k (b k − b k+1 ) + b n S n .
2. Notons M un majorant de la suite
|S n |
. Alors, pour tout entier naturel k,
|S k (b k − b k+1 ) | M (b k − b k+1 )
(car la suite (b k ) est décroissante). La série télescopique
(b k − b k+1 ) étant convergente, la
série
S k (b k − b k+1 ) est absolument convergente. Puisque lim
n→+∞
S n b n = 0 (produit d’une
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