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SOLUTIONS
Solutions
Cas L < 1. Soit l un réel, L < l < 1. D’après la définition de la limite, il existe un rang
n 0 tel que pour tout entier n n 0 , a n l
n . D’après le théorème de comparaison, la série
géométrique
l
n étant convergente, la série
a n est convergente.
2. Notons L = lim
n→+∞
a n+1
a n
·
Cas L > 1. Par définition de la limite, il existe un rang n 0 tel que pour tout n n 0 , on
ait
a n+1
a n
1. On en déduit que la suite (a n ) est croissante à partir du rang n 0 et, pour tout
n n 0 , a n a n0 . Puisque a n0 > 0, la limite — qui existe ! — de la suite (a n ) ne peut pas
être nulle et donc la série
a n est (grossièrement) divergente.
Cas L < 1. Soit l un réel, L < l < 1. Il existe un rang n 0 tel que pour tout entier
n n 0 on ait
a n+1
a n
l. On en déduit facilement par récurrence que pour tout n n 0
a n l
n−n0 a n0 = C l
n
·
D’après le théorème de comparaison, les suites étant positives et la série géométrique
l
n
étant convergente, la série
a n est convergente.
3. Si a n =
1
n a , alors
lim
n→+∞
a n+1
a n
= lim
n→+∞
n
√
a n = 1.
On ne peut donc rien affirmer quant à la convergence d’une série lorsque L = 1 dans les
règles de Cauchy et de d’Alembert.
7.
1. Pour tout entier naturel non nul n, on a
n
k=1
1 −
a k
S k
=
n
k=1
S k − a k
S k
=
n
k=1
S k−1
S k
=
a 0
S n
·
2. La suite (a n ) étant à valeurs strictement positives, la limite S dans R de (S n ) est strictement
positive (ne pas oublier que (S n ) est croissante). Par ailleurs, la relation de la question
précédente peut s’écrire
n
k=1
ln
1 −
a k
S k
= ln a 0 − ln S n .
En faisant tendre n vers +∞ dans cette relation, il vient que la série
ln
1 −
a k
S k
est
convergente si, et seulement si, la limite de S n est un réel strictement positif, i.e. la série
a n converge. Ainsi les séries
a n et
ln
1 −
a n
S n
sont de même nature.
Si
a n converge. Alors
a n
S n
∼
a n
S
, et d’après la règle des équivalents la série
a n
S n
est
convergente.
461
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Cas L < 1. Soit l un réel, L < l < 1. D’après la définition de la limite, il existe un rang
n 0 tel que pour tout entier n n 0 , a n l
n . D’après le théorème de comparaison, la série
géométrique
l
n étant convergente, la série
a n est convergente.
2. Notons L = lim
n→+∞
a n+1
a n
·
Cas L > 1. Par définition de la limite, il existe un rang n 0 tel que pour tout n n 0 , on
ait
a n+1
a n
1. On en déduit que la suite (a n ) est croissante à partir du rang n 0 et, pour tout
n n 0 , a n a n0 . Puisque a n0 > 0, la limite — qui existe ! — de la suite (a n ) ne peut pas
être nulle et donc la série
a n est (grossièrement) divergente.
Cas L < 1. Soit l un réel, L < l < 1. Il existe un rang n 0 tel que pour tout entier
n n 0 on ait
a n+1
a n
l. On en déduit facilement par récurrence que pour tout n n 0
a n l
n−n0 a n0 = C l
n
·
D’après le théorème de comparaison, les suites étant positives et la série géométrique
l
n
étant convergente, la série
a n est convergente.
3. Si a n =
1
n a , alors
lim
n→+∞
a n+1
a n
= lim
n→+∞
n
√
a n = 1.
On ne peut donc rien affirmer quant à la convergence d’une série lorsque L = 1 dans les
règles de Cauchy et de d’Alembert.
7.
1. Pour tout entier naturel non nul n, on a
n
k=1
1 −
a k
S k
=
n
k=1
S k − a k
S k
=
n
k=1
S k−1
S k
=
a 0
S n
·
2. La suite (a n ) étant à valeurs strictement positives, la limite S dans R de (S n ) est strictement
positive (ne pas oublier que (S n ) est croissante). Par ailleurs, la relation de la question
précédente peut s’écrire
n
k=1
ln
1 −
a k
S k
= ln a 0 − ln S n .
En faisant tendre n vers +∞ dans cette relation, il vient que la série
ln
1 −
a k
S k
est
convergente si, et seulement si, la limite de S n est un réel strictement positif, i.e. la série
a n converge. Ainsi les séries
a n et
ln
1 −
a n
S n
sont de même nature.
Si
a n converge. Alors
a n
S n
∼
a n
S
, et d’après la règle des équivalents la série
a n
S n
est
convergente.
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