Chapitre 4 – Séries numériques
Cas a < 1. Alors pour tout b,
1
n ln n
= o
1
n a ln
b n
. D’après le théorème de comparaison et la question précédente, la série
1
n a ln
b n
diverge.
Cas a = 1. Ce cas a été traité.
En résumé
1
n a ln
b n
converge ⇐⇒
a > 1, ou
a = 1 et b > 1.
5.
1. La suite (a n ) étant réelle, décroissante, elle admet une limite L dans [−∞, +∞[.
Cas L non nul. Alors lim
n→+∞
a 2 n = L et donc lim
n→+∞
2
n a 2 n = ±∞. Les deux séries
a n
et
2
n a 2 n sont divergentes.
Cas L nul. La suite (a n ) étant décroissante, cela implique en particulier que (a n ) est positive. Notons S = lim
n→+∞
n
k=1
a k et S
= lim
n→+∞
n
k=1
2
k a 2 k , qui sont des éléments de [0, +∞].
Pour tout entier naturel k on a
2
k a 2 k+1
2
k+1 −1
i=2 k
a i 2
k a 2 k .
Ainsi, en sommant, pour tout entier naturel n,
1
2
n+1
k=1
2
k a 2 k
2
n+1 −1
i=1
a i
n
k=0
2
k a 2 k .
En faisant tendre n vers +∞, on obtient donc que S = +∞ si, et seulement si, S
= +∞,
ce qui donne le résultat annoncé.
2. Puisque a est positif, la suite
1
n a
est décroissante. D’après ce qui précède, la série
1
n a est de même nature que la série géométrique
2
n
2 an =
1
2 a−1
n
. Elle est
donc convergente si, et seulement si, 2
a−1 > 1, i.e. a > 1.
3. Puisque b est positif, la suite
1
n ln
b n
est décroissante. La série
1
n ln
b n
est de même
nature que la série
1
ln
b (2 n )
=
1
ln
b 2
1
n b . D’après la question précédente, la série
1
n ln
b n
si, et seulement si, b > 1.
6.
1. Notons L = lim
n→+∞
n
√
a n .
Cas L > 1. Puisque L ∈ ]1, +∞], on peut choisir un réel l tel que 1 < l < L. Par
définition de la limite, il existe un rang n 0 tel que pour tout n n 0 , on ait a n l
n . En
faisant tendre n vers +∞, on en déduit que lim
n→+∞
a n = +∞ et donc que la série
a n est
(grossièrement) divergente.
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