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SOLUTIONS
Solutions
De plus, pour tout entier n 1, 0 < a n
2
n
et donc lim
n→+∞
a n = 0. Ainsi
lim
n→+∞
S 3n+1 = lim
n→+∞
S 3n + a 3n+1 = ln 3 et lim
n→+∞
S 3n+2 = lim
n→+∞
S 3n+1 + a 3n+2 = ln 3. La
convergence de la série
a n est alors assurée et
+∞
k=1
a k = ln 3.
3.
1. Notons l et m les racines de P.
Cas l = m. Il existe alors deux complexes A et B tels que pour tout entier naturel n,
u n = A l
n + B m
n . Puisque |l| < 1 et |m| < 1, les séries géométriques
l
n et
m
n sont
convergentes et donc par linéarité la série
u n est convergente.
Cas l = m. De même il existe deux complexes A et B tels que pour tout entier naturel
n, u n = A l
n + B nl
n . Puisque |l| < 1, la série géométrique
l
n et la série dérivée
d’une série géométrique
nl
n sont convergentes. Il s’ensuit encore que la série
u n est
convergente.
2. Notons, pour tout entier naturel, S n la somme partielle d’indice n de la série
u n . En
sommant la relation u n+2 − a u n+1 − b u n = 0, on obtient, pour tout entier naturel n
(S n+2 − u 0 − u 1 ) − a (S n+1 − u 0 ) − bS n = 0.
En passant à la limite dans cette relation et en notant S la somme de la série
a n , on
obtient
(1 − a − b) S = (1 − a) u 0 + u 1 .
Puisque 1 − a − b = 0 (sinon 1 serait racine de P)
+∞
k=0
u k =
(1 − a) u 0 + u 1
1 − a − b
·
4.
1. On suppose b > 0 fixé. La fonction t →
1
t ln
b t
est évidemment continue,
décroissante sur ]1, +∞[. Par ailleurs, sur cet intervalle
dt
t ln
b t
=
1
1−b ln
1−b t, si b = 1 ;
ln (ln t) ,
si b = 1.
Il s’ensuit que
+∞
2
dt
t ln
b t
est convergente si, et seulement si, b > 1. D’après une
remarque faite page 96, la série
1
n ln
b n
converge si, et seulement si, b > 1.
2. Cas a > 1. Alors, pour tout b,
1
n a ln
b n
= o
1
n ln
2 n
. D’après le théorème de comparaison et la question précédente, la série
1
n a ln
b n
converge.
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