Chapitre 4 – Séries numériques
Les p termes de la seconde somme tendent tous vers 0 lorsque l’on fait tendre n vers +∞.
On en déduit la convergence de la série
a n et
+∞
k=1
1
k (k + p)
=
1
p
p
k=1
1
k
·
h. On obtient facilement, par identification, que pour tout entier n 2
1
n
n 2 − 1
=
1
2(n − 1)
−
1
n
+
1
2(n + 1)
·
Il s’ensuit que pour tout entier n 2
n
k=2
1
k
k 2 − 1
=
1
2
n−1
k=1
1
k
−
n
k=2
1
k
+
1
2
n+1
k=3
1
k
=
1
2
1 +
1
2
−
1
2
+
1
n
+
1
2
1
n
+
1
n + 1
=
1
4
+
1
2
1
n + 1
−
1
n
·
La convergence de la série s’ensuit et
+∞
k=2
1
k
k 2 − 1
=
1
4
·
i. Notons, pour tout entier naturel non nul, S n =
n
k=1
a k . On remarque que, pour tout entier
k 1, a 3k = −
2
3k
=
1
3k
−
1
k
· Il s’ensuit que tout entier naturel non nul n
S 3n =
n
k=1
1
3k − 2
+
1
3k − 1
+
1
3k
−
1
k
=
3n
k=1
1
k
−
n
k=1
1
k
=
3n
k=n+1
1
k
·
D’autre part, toujours pour tout entier naturel n non nul,
3n
k=n+1
1
k
=
2n
i=1
1
n + i
=
1
n
2n
i=1
1
1 +
i
n
·
Cette dernière somme est une somme de Riemann associée à la fonction continue
f : [0, 2] → R définie par f (t) =
1
1 + t
et la subdivision
0,
1
n
,
2
n
, . . . ,
2n − 1
n
, 2
· Il
s’ensuit que
lim
n→+∞
S 3n = lim
n→+∞
1
n
2n
i=1
1
1 +
i
n
=
2
0
dt
1 + t
= ln 3.
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