© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
SOLUTIONS
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Ainsi, pour tout entier naturel non nul n
1 + · · · + n
1 3 + · · · + n 3 =
2
n (n + 1)
= 2
1
n
−
1
n + 1
·
On est ramené à une série télescopique convergente et on obtient
+∞
n=1
1 + · · · + n
1 3 + · · · + n 3 = 2.
e. On a, pour tout entier naturel n
a n =
+∞
k=n+1
q
k =
q
n+1
1 − q
·
Il s’ensuit immédiatement que la série
a n est convergente et que
+∞
n=0
+∞
k=n+1
q
k
=
q
(1 − q)
2 ·
f. Il est clair que la suite (u n ) est à valeurs strictement positives, strictement croissante. Si la
suite (a n ) a une limite finie L, on aurait alors L = L + L
2 , i.e. L = 0, ce qui est impossible
du fait de sa monotonie. Donc (u n ) tend vers +∞.
On remarque qu’alors, pour tout entier naturel n
1
u n
−
1
u n+1
=
1
u n
1 −
1
1 + u n
=
1
u n
×
u n
1 + u n
=
u n
u n+1
·
Ainsi la série
u n
u n+1
est une série télescopique et puisque lim
n→+∞
1
u n
= 0, elle est convergente. Enfin
+∞
k=0
u k
u k+1
=
1
u 0
·
g. Rappelons que p ∈ N
∗ est fixé. Pour tout entier naturel non nul n, on a
1
n (n + p)
=
1
p
1
n
−
1
n + p
·
Il s’ensuit que
n
k=1
1
k (k + p)
=
1
p
n
k=1
1
k
−
1
k + p
=
1
p
⎛
⎝
n
k=1
1
k
−
n+p
k=p+1
1
k
⎞
⎠
=
1
p
p
k=1
1
k
−
p
k=1
1
n + k
·
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