Chapitre 4 – Séries numériques
Ainsi, pour tout entier naturel n
n
k=0
Arctan
2
(k + 1)
2
=
n
k=0
Arctan (k + 2) − Arctan k
=
n+2
k=2
Arctan k −
n
k=0
Arctan k
= Arctan (n + 2) + Arctan (n + 1) − Arctan 0 − Arctan 1
Puisque lim
x→+∞
Arctan x =
p
2
, que Arctan 0 = 0 et que Arctan 1 =
p
4
, la série
a k est
convergente et
+∞
k=0
Arctan
2
(k + 1)
2
=
3
4
p·
c. Puisque u ∈
0,
p
2
, pour tout entier n on a cos
u
2 n
∈ ]0, 1[, et donc la suite (a n ) est
bien définie.
Par ailleurs, on vérifie par récurrence à partir de la relation sin (2a) = 2 sin a cos a que pour
tout entier naturel n
sin (2u) = 2
n+1 sin
u
2 n
n
k=0
cos
u
2 k
·
Puisque
u
2 n ∈
0,
p
2
,
sin (2u)
2 n+1 sin
u
2 n
=
n
k=0
cos
u
2 k
et
n
k=0
ln
cos
u
2 k
= ln
sin (2u)
2 n+1 sin
u
2 n
·
D’autre part, lim
n→+∞
u
2 n = 0 et donc sin
u
2 n
∼
u
2 n · Il s’ensuit que
lim
n→+∞
2
n+1 sin
u
2 n
= 2u. La convergence de la série
a n est alors immédiate et
+∞
k=0
ln
cos
u
2 k
= ln
sin (2u)
2u
·
d. On sait que pour tout entier naturel n,
1 + · · · + n =
n(n + 1)
2
,
1
3 + · · · + n
3 =
n(n + 1)
2
2
·
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