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SOLUTIONS
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g. On note w : N → N l’application définie par w (n) = 10
n+1
− 1. Celle-ci est évidemment strictement croissante et donc la série
a n et la série
c n sont de même nature,
où c n =
w(n)
k=w(n−1)+1
a k . Or pour tout entier n 1, il y a 8 × 9
n indices k tels que
w(n − 1) < k w(n) et a k = 0. Ainsi
c n
8 × 9
n
w(n − 1) + 1
= 8
9
10
n
·
D’après le théorème de comparaison, puisque la série géométrique
9
10
n
est convergente, la série
c n converge et donc la série
a n est convergente.
2.
a. On remarque que
n
4 + n
2 + 1 = n
4 + 2n
2 + 1 − n
2 =
n
2 + 1
2 − n
2 =
n
2 + n + 1
n
2
− n + 1
.
Posons u n =
1
n 2 + n + 1
· On constate que u n−1 =
1
n 2 − n + 1
et que pour tout entier
naturel non nul n
a n =
1
2
(u n−1 − u n ) .
Ainsi, pour tout entier naturel n non nul
n
k=1
a k =
1
2
(u 0 − u n ) .
On en déduit facilement la convergence et
+∞
k=0
k
k 4 + k 2 + 1
=
1
2
·
b. L’idée est de rechercher deux réels a et b tels que
2
(n + 1)
2 =
a − b
1 + ab
. On constate facilement que a = n + 2 et b = n conviennent. Puisque, pour tout entier naturel n, Arctan n
et Arctan (n + 2) sont des éléments de
0,
p
2
, Arctan (n + 2) − Arctan n ∈
−
p
2
,
p
2
. Il
s’ensuit que
tan
Arctan (n + 2) − Arctan n
=
2
(n + 1)
2
et que
Arctan (n + 2) − Arctan n = Arctan
2
(n + 1)
2
·
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