Chapitre 4 – Séries numériques
Or 0 < 2 −
√
3 < 1, donc lim
n→+∞
2 −
√
3
n
= 0 et
a n ∼ −
2 −
√
3
n
p.
Les deux suites sont négatives ; du fait que la série géométrique
2 −
√
3
n est convergente, la série
a n est convergente.
d. La suite (u n ) est bien définie. Par ailleurs, pour tout entier naturel n non nul
u n =
1 + a n − 1
(1 + a 0 ) · · · (1 + a n−1 ) (1 + a n )
=
1
(1 + a 0 ) · · · (1 + a n−1 )
−
1
(1 + a 0 ) · · · (1 + a n )
·
La série
u n est une série télescopique ; elle est convergente si, et seulement si, la suite
définie par v n =
1
(1 + a 0 ) · · · (1 + a n )
est convergente. Or cette suite est évidemment
à valeurs positives et décroissante ; le théorème des suites monotones permet alors de
conclure à la convergence de série
u n .
e. Puisque lim
n→+∞
ln n
n
= 0,
ln
1 +
ln n
n
∼
ln n
n
·
Par ailleurs, pour tout n 3
1
n
ln n
n
·
Puisque la série harmonique est divergente, la série
ln n
n
est divergente d’après le théorème de comparaison (les suites sont positives !). Ainsi, d’après la règle des équivalents, la
série
a n est divergente.
f. On peut facilement démontrer par récurrence l’inégalité 1! + · · · + n! 2 n!, mais cela
masque la nature du résultat. Il est plus satisfaisant de remarquer que pour tout entier
naturel non nul n et pour tout k ∈ Ú1, n − 1Û
k!
n!
=
1
n (n − 1) · · · (k + 1)
1
n
,
et donc
1! + · · · + n!
n!
(n − 1)
1
n
+ 1 = 2 −
1
n
2.
Ainsi
n!
(n + p)!
1! + · · · + n!
(n + p)!
2
n!
(n + p)!
·
Le suites étant positives, le théorème de comparaison permet facilement de démontrer
que les séries
n!
(n + p)!
et
1! + · · · + n!
(n + p)!
sont de même nature. Enfin, puisque
n!
(n + p)!
∼
1
n p , la série
1! + · · · + n!
(n + p)!
converge si, et seulement si, p 2.
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