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SOLUTIONS
Solutions
Pour u = u p , le système équivaut à a = −b, et alors il existe une solution non nulle au
système (A − 2 cos(u)I)X = 0, à savoir par exemple x k =
1
2i
(e
kiup
− e
−kiup ) = sin(ku p ).
Il en résulte que pour p ∈ Ú1, nÛ, 2 cos
pp
n + 1
est une valeur propre et un vecteur
propre associé est
⎛
⎜
⎜
⎜
⎝
sin
pp
n + 1
. . .
sin
npp
n + 1
⎞
⎟
⎟
⎟
⎠
.
Nous avons déjà n valeurs propres, donc il ne peut y en avoir d’autres et les sous-espaces
propres sont de dimension 1. On en conclut que
E 2 cos(
pp
n+1 ) (A) = Vect
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
sin
pp
n + 1
sin
2pp
n + 1
. . .
sin
npp
n + 1
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
.
Chapitre 4
1.
a. Pour n 2, ln a n = n
2 ln
1 −
1
n
= −n −
1
2
+ o (1). Ainsi, a n ∼ Ce
−n , avec
C =
1
√
e
· Les séries étant à terme général positif et la série géométrique de raison
1
e
∈ [0, 1[
étant convergente, la série
a n est convergente d’après la règle des équivalents.
b. On a n
2 e
−n
a = (n a )
2
a e
−n
a . Puisque lim
x→+∞
x
2
a e
−x = 0, a n = o
1
n 2
. Les séries étant à
terme général positif et la série de Riemann
1
n 2 étant convergente, la série
a n est
convergente en vertu du théorème de comparaison.
c. D’après la formule du binôme, pour tout entier naturel n
2 +
√
3
n
+
2 −
√
3
n
=
n
k=0
n
k
2
n−k 3
k
2
1 + (−1)
k
= 2
n
2
=0
n
2
2
n−2 3
.
Il s’ensuit que
2 +
√
3
n p +
2 −
√
3
n p = 0 (mod 2p) et donc que
a n = − sin
2 −
√
3
n
p
.
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